6. Halle la ecuación general del lugar geométrico que describe un punto que se mueve sobre el plano de tal manera que su distanc

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¡Hola Lola Ovando!

La definición de hipérbola el el lugar geométrico de los puntos tales que su distancia a uno fijo menos su distancia a otro es constante.

Es justamente lo que nos dicen aquí.

A los puntos esos se les llama focos. A la mitad de la distancia entre ellos se le llama

c = semidistancia focal

El punto intermedio entre los dos focos es el centro de la hipérbola llamémoslo (h, k)

A esa diferencia constante entre las distancias se le llama 2a. Esa 2a es la distancia entre los vértices de la hipérbola.

Y existe otra medida llamada b tal que se cumple

a^2 + b^2 = c^2

Bien, pues la teoría dice que la ecuación de la hipérbola es

$$\begin{align}&\text{Si los focos están alineados paralellamente el eje X}\\&\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\\&\\&\text{Y si lo están con el eje Y}\\&\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1\\&\\&\text{Los focos son: }(0,5)\; y\;(0,-5)\\&\text{Están en la recta x=0, eso es el eje Y,} \\&\text{luego estamos en el segundo caso}\\&\\&\text{La distancia entre focos es }5-(-5)= 10\\&c=10/2 = 5\\&\text{El centro es: }\frac{(0,5)+(0,-5)}{2}=\frac{(0,0)}{2}=(0,0)\\&\\&Luego \quad h=k=0\\&\\&\text{Ya que la distancia constante es 2a=4}\\&a= 4/2 = 2\\&\\&b^2 = c^2-a^2 = 5^2-2^2=21\\&\\&\text{Luego la ecuación es:}\\&\\&\frac{y^2}{4}-\frac {x^2}{21}=1\end{align}$$

Bueno, he entendido que estabas estudiando cónicas y por eso lo he resuelto así.

Pero si no las estudias existe otro método que no necesiota conocer tanta teoría pero las cuentas serán algo pesadas.

$$\begin{align}&\text{Sea (x,y) un punto}\\&\\& d[(x,y),(0,5)]-d[(x,y),(0,-5)]= 4\\&\\&\sqrt{x^2+(y-5)^2}- \sqrt{x^2+(y+5)^2}= 4\\&\\&x^2+(y-5)^2+x^2+(y+5)^2-2 \sqrt{x^2+(y-5)^2}·\sqrt{x^2+(y+5)^2}= 16\\&\\&2x^2+2y^2+50 - 2 \sqrt{[x^2+(y-5)^2]·[x^2+(y+5)^2]}=16\\&\\&2 \sqrt{[x^2+(y-5)^2]·[x^2+(y+5)^2]}=2x^2+2y^2+34\\&\\&\sqrt{[x^2+(y-5)^2]·[x^2+(y+5)^2]}=x^2+y^2+17\\&\\&\text{La fórmula del trinomio al cuadrado es}\\&(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\\&\\&[x^2+(y-5)^2]·[x^2+(y+5)^2] = x^4+y^4+17^2+2x^2y^2+34x^2+34y^2\\&\\&(x^2+y^2+25-10y)(x^2+y^2+25+10y)= x^4+y^4+17^2+2x^2y^2+34x^2+34y^2\\&\\&\text{Es un producto notable, difícil pero notable}\\&\\&x^4+y^4+25^2+2x^2y^2+50x^2+50y^2-100y^2=\\& x^4+y^4+17^2+2x^2y^2+34x^2+34y^2\\&\\&25^2-17^2+16x^2-84y^2=0\\&\\&336 = 84y^2 - 16x^2\\&\\&21y^2-4x^2 = 84\\&\\&\frac{21y^2}{84}-\frac{2x^2}{84}= 1\\&\\&\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{21}=1\end{align}$$

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