Ejercicio 2. Un semáforo está en el extremo de un poste de 15 pies de altura. Un hombre de 6 pies de talla
Se aleja de él con una velocidad de 5 pies/seg en línea recta.
¿Con qué rapidez se relaja la parte superior de su sombra cuando él se encuentra a 40 pies de distancia del poste?
1 respuesta
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¡Hola Omar!
No entendía nada. Creo que en vez de semáforo deberían haber dicho un foco.
El foco lo situamos en el punto (0,15)
La cabeza del hombre está inicialmente en (0,6) y con el tiempo describe esta función
C(t) = 5t
Luego la cabeza estará en
(5t, 6)
Ahora debemos hallar el punto donde de la sombra de la cabeza en el suelo.
Sea d la distancia de la sombra, entonces la tangente del ángulo de la sombra con la recta cabeza-foco la podemos medir de dos formas
$$\begin{align}&tg\alpha = \frac {15}{5t+d}\\&\\&tg\alpha = \frac 6d\\&\\&\text{Luego igualando}\\&\\&\frac 6d= \frac{15}{5t+d}\\&\\&30t+6d=15d\\&\\&9d=30 t\\&\\&d=\frac{10t}{3}\\&\\&\text{Y la posición de la punta de la sombra es}\\&\\&\left(5t+\frac{10t}{3},0\right)=\left(\frac {25t}{3},0\right)\\&\\&\text{En realidad solo importa la posición en eje X}\\&\\&S(t)=\frac {25}3t\\&\\&\text{la velocidad es la derivada}\\&\\&V_S(t)=S'(t)=\frac {25}3 pies/seg \approx 8.33333...pies/seg\end{align}$$Y no son necesarios más cálculos, la velocidad de la punta de la sombra es constante, luego lo mismo a los 40 pies que a los 400000 pies la velocidad es 25/3 pies/seg
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