Ejercicio 1. Considere que la disminución de la presión sanguínea de una persona depende de la cantidad

Ok, para esto vamos a calcular f' y f'' de la función

$$\begin{align}&f(x) = \frac{1}{2}x^2(k-x) = \frac{1}{2}kx^2-\frac{1}{2}x^3\\&f'(x)=kx-\frac{3}{2}x^2\\&f''(x)=k-3x\\&f'(x)=0 \to 0=x(k-\frac{3}{2}x)\\&x_1=0 \ (no\ aplicar\ nada)\\&x_2 = \frac{2k}{3} \text{ (Como k>x está bien definido)}\\&f''(0)=k \text{ (es una constante positiva, así que es mínimo)}\\&f''(\frac{2k}{3}) = k - 3\cdot \frac{2k}{3}= k-2k = -k \text{ (como es <0, es máximo)}\end{align}$$

Conclusión, se obtiene un máximo para un valor de x = 2/3 de K

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¡Hola Omar!

Lo haremos un poco distinto y además completo.

Calculamos la derivada y la igualamos a 0

$$\begin{align}&f(x)=\frac 12 x^2(k-x)\\&\\&f'(x)=\frac 12\left(2x(k-x)-x^2  \right)=\frac 12(-3x^2+2kx)=0\\&\\&x(-3x+2k)=0\\&\text{La primera raíz es}\\&x=0\\&\\&\text{Y la segunda}\\&-3x=-2k\implies x=\frac {2k}3\\&\\&\text{Para x=0 la función vale 0, seguro que no será el máximo}\\&\text{Teniendo en cuenta que f(x) es continua en }[0,\infty)\\&\text{El máximo se da en 0, }\frac {2k}3 \text{o cuando}\to \infty\\&\\&f(0)=0\\&\\&f\left(\frac{2k}3\right)=\frac{4k^2}{9}·\frac k3= \frac{4k^3}{27}\gt 0\quad \text{ya que } k\gt 0\\&\\&\lim_{ x\to \infty}f(x)=-\infty\end{align}$$

Luego el máximo no solo relativo (¡OJO!) sino absoluto, se da en

x=2k/3

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