Como calcular los siguientes logaritmos?

Hay que tener en cuenta que la función ln(x) es insignificante respecto de una función x^n cuando x tiende a infinito

Eso se escribe

ln(x) << x^n

Lo mismo sucede con las funciones x^n, la que tiene menor exponente es insignificante frente a la que tiene más

si n < m

x^n << x^m

La traducción practica es:

$$\begin{align}&Si\; f(x)\lt\lt g(x) \implies \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0\\&\\&\lim_{x\to +\infty}\frac{ln \,x^{14}}{x^9}=\lim_{x\to +\infty}\frac{14\,ln \,x}{x^9}=\\&\\&14·\lim_{x\to +\infty}\frac{ln \,x}{x^9}=\\&\\&\text{como } ln\,x\lt\lt x^9\\&\\&=14·0 = 0\\&\\&---------------\\&\\&\lim_{x\to +\infty} (ln\,x) -x^3-x^2-1=\\&\\&\lim_{x\to \infty} x^3\left(\frac{(ln\,x) -x^3-x^2-1}{x^3}  \right)=\\&\\&\lim_{x\to \infty} x^3·\lim_{x\to\infty}\left(\frac{ln\,x}{x^3}-1-\frac{1}{x}-\frac 1{x^3}  \right)=\\&\\&\text{como }ln\,x\lt\lt x^3\\&\\&\lim_{x\to \infty} x^3·\left(0-1-0-0  \right)=-\lim_{x\to \infty}x^3=-\infty\\&\\&-------------------\\&\\&\lim_{x\to +\infty} (ln(x^3+2x)-x^2+x+2)=\\&\\&\lim_{x\to +\infty} (ln[x(x^2+2)]-x^2+x+2)=\\&\\&\lim_{x\to +\infty} (ln\,x+ ln(x^2+2)-x^2+x+2)=\\&\\&\text{Tendremos que añadir que}\\&\\&ln(P(x))\lt\lt x^n  \quad\text{Siendo P(x) un poliniomio}\\&\\&\text{Multiplicamos y dividimos por }x^2, \text{ahora daré}\\&\text {varios pasos de golpe}\\&\\&= \lim_{x\to \infty}x^2·\lim_{x\to\infty}\left( \frac{ln\,x}{x^2}+ \frac{ln(x^2+2)}{x^2}-1+\frac 1x+\frac 2{x^2} \right)=\\&\\&\lim_{x\to \infty}x^2·(0+0-1+0+0)=-\lim_{x\to \infty}x^2=-\infty\\&\end{align}$$

Lo he hecho con muchísimos pasos incluso en el tercero, en realidad estós límites se calculan calculando el límite de la función más siognificativa.  ERn el segundo era la función -x^3 y el el tercero -x^2, calculando el límite de esas dos era suficiente, pero teoricamente se hace como lo hice yo.  Puede que incluso al profesor le parezca demasiado  trabajo.  Tú hazlo tal como tengáis la costumbre de hacerlo.

Saludos.

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