Como resolver problema de aplicación de series

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¡Hola Bladdy1227!

a) Es la suma de una serie geométrica de razón 1/2

La fórmula de la suma de una serie geométrica es:

$$\begin{align}&\sum_{n=1}^{\infty}a_i=\frac{a_1}{1-r}\\&\\&\text{Ya habíamos dicho que }r=\frac 12\\&\\&\text {también }a_1=\left(\frac 12   \right)^1=\frac 12\\&\\&\text{luego}\\&\\&\sum_{n=1}^{\infty}a_i=\frac{\frac 12}{1-\frac 12}= \frac{\frac 12}{\frac 12}=1\end{align}$$

b) La segunda seríe no es geométrica, porque el cociente entre dos términos consecutivos es:

$$\begin{align}&\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n\left(\frac 12  \right)^n}{(n-1)\left(\frac 12  \right)^{n-1}}=\frac {n}{n-1}·\frac 12=\frac{n}{2(n-1)}\\&\\&\text{y este cociente no es constante}\\&\\&\text{Para n=2 será: } \frac{2}{2(2-1)}=1\\&\\&\text{Para n=3 será: } \frac{3}{2(3-1)}=\frac{3}{4}\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

Luego la razón no es cosntante y no es una serie geométrica.

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