Asignación de ecuaciones diferenciales soluciones
Profesor me podría ayudar con estos ejercicios de ecuaciones diferenciales, se lo agradeceré, gracias y estamos en contacto.
Saludos!
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Gregorio!
No se puede mandar má que un ejercicio de esta categoria por pregunta.
Respecto a las gráficas yo no sé que SAC usarás. Yo no uso ninguno, si acaso podría usar la página web de Wolfram Alpha, eso es lo más sencillo.
Pero en tanto me dices si se puede hacer así haré el ejercicio 3a)
$$\begin{align}&y''-4y'+4y = t^3\qquad y(0)=1,\quad y'(0)=0\\&\\&\text {llamando } \overline y=\mathcal L\{y\}\\&\text{y aplicando }\\&\mathcal L\{y'\}=s\,\overline y-y(0) = s \,\overline y-1\\&\mathcal L\{y''\}= s^2\overline y- s·y(0)-y'(0) =s^2\overline y-s-0\\&\\&\text{transformando la ecuación queda}\\&\\&s^2 \overline y-s-4(s \,\overline y-1)+4 \overline y=\mathcal\{ t^3\}\\&\\&\text{reordenando y transformando }t^3\; con \mathcal\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}}\\&\\&(s^2-4s+4)\overline y-s+4=\frac 6{s^4}\\&\\&\\&(s^2-4s+4)\overline y=\frac 6{s^4}+s -4\\&\\&(s^2-4s+4)\overline y=\frac {6+s^5-4s^4}{s^4}\\&\\&\overline y=\frac {6+s^5-4s^4}{s^4(s^2-4s+4)}\\&\\&\overline y=\frac {6+s^5-4s^4}{s^4(s-2)^2}\\&\\&\text{Y habría que descomponer en fracciones simples}\\&\text{pero me parece un problema desmedido}\\&\\&\overline y=\frac a{s}+\frac b{s^2}+\frac{c}{s^3}+\frac{f}{s^4}+\frac{g}{(s-2)}+\frac{h}{(s-2)^2}\\&\\&(as^5-4as^4+4as^3)+(bs^4-4bs^3+4bs^2) +\\&(cs^3-4cs^2+4cs)+(fs^2-4fs+4f)+\\&(gs^5-2gs^4)+(hs^4)=s^5-4s^4+6\\&\\&4f=6\implies f=\frac 32\\&4c-4f=0\implies c=\frac 32\\&4b-4c+f=0\implies b=\frac{4c-f}{4}=\frac 98\\&4a-4b+c=0\implies a=\frac{4b-c}{4}=\frac 34\\&-4a+b-2g+h=-4\\&a+g=1\implies g=\frac 14\\&\\&\text{retomamos la que dejamos}\\&-3+\frac 98-\frac 12+h=-4\implies h=-\frac {13}8\\&\\&\overline y= \frac 3{4s}+\frac{9}{8s^2}+\frac{3}{2s^3}+\frac{3}{2s^4}+\frac{1}{4(s-2)}-\frac{13}{8(s-2)^2}\\&\\&\text{Y calculando la inversa de la transformada queda}\\&\\&y=\frac 34+\frac{9t}{8}+\frac {3t^2}4+\frac{t^3}{4}+\frac{e^{2t}}4-\frac {13}8te^{2t}\\&\\&y=\frac{6+9t+6t^2+2t^3+(2-13t)e^{2t}}{8}\\&\end{align}$$Y eso es todo, ya ves todo el trabajo que llevan por eso solo se puede mandar uno por pregunta. Si quieres, mandalos así, pero que sean pocos, no puedo dedicarles tanto tiempo a estos y dejar otras preguntas sin contestar.
Saludos.
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