Se dispara hacia arriba un proyectil con una velocidad de 120 metros por segundo. La altura sobre el suelo (t) segundos
Segundos después del disparo está dado por
s(t) = 120t-5t^2
- ¿En cuánto tiempo alcanza el proyectil en llegar a su altura máxima?
- ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el proyectil?
- ¿Cuál es la aceleración en un tiempo (t) arbitrario?
- Realiza la gráfica para función velocidad y compárala con la gráfica de la función aceleración. ¿Qué relación existe entre las derivadas y el comportamiento gráfico? Detalla la respuesta.
2 Respuestas
Veamos...
La ecuación que tienes se ajusta a la expresión general de un tiro vertical que es esta:
y(t) = y_0 + v_0 t - 1/2 g t^2
En este caso tenemos que:
y_0 = 0
v_0 = 120
1/2 g = 5 lo cual es una aproximación bastante buena en general (el valor normalmente aceptado es g=9.8, pero acá están asumiendo g=10)
Ahora sí, ya establecimos las condiciones generales, ahora vamos a tu expresión
s(t) = 120t-5t^2
Sabemos que la velocidad es la derivada de la posición, así que tenemos que
v(t) = 120 - 10 t
y la aceleración es la derivada de la velocidad, así que
a(t) = -10 (como ya establecimos antes -notá que el valor es constante)
Ahora vamos a ver cada pregunta
1) El proyectil alcanzará su altura máxima cuando la velocidad sea cero (ya que si es positivo seguiría subiendo y si fuese negativo indica que ya empezó a bajar)
v(t) = 0 = 120 - 10 t
t = 120 / 10 ==> t = 12 seg
2) La altura máxima la calculamos planteando s(12)
s(12) = 120 * 12 - 5 * 12 ^2 = 1440 - 720 = 720 m
3) Como vimos antes, la aceleración es constante y su valor es 10 m/s^2
4) Te dejo la gráfica, el resto de lo que te preguntan ya lo fui contestando antes.
·
·
¡Hola Omar!
Segundos después del disparo está dado por
s(t) = 120t-5t^2
- ¿En cuánto tiempo alcanza el proyectil en llegar a su altura máxima?
- ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el proyectil?
- ¿Cuál es la aceleración en un tiempo (t) arbitrario?
- Realiza la gráfica para función velocidad y compárala con la gráfica de la función aceleración. ¿Qué relación existe entre las derivadas y el comportamiento gráfico? Detalla la respuesta.
1)
La función s(t) es una parábola hacia abajo, el vértice es el máximo y en una ecuación
y = ax^2 + by + c
El vértice está en -b/2a
Luego en esta
y =-5t^2 + 120t
el vértice es -120 /(-10) = 12 s
2)
La altura máxima será la que haya a esos 12 segundos
s(12) = -5·12^2 + 120·12 = -5·144 + 1440 = -720+1440 = 720m
3)
La aceleración es la derivada segunda de la posición respecto del tiempo.
s(t) = -5t^2 + 120 t
v(t) = s'(t) = -10t + 120
a(t) = s''(t) = -10 m/s^2
·
4)
Esta es la gráfica
La relación es que cuando la derivada es positiva la fucion es creciente y cando es negativa es decreciente. En este caso tenemos la aceleración como derivada de la velicidad, como la aceleración es negativa (-10) entonces la velocidad es decreciente. Ojo, no quiere decir que sea menor en valor absoluto, sino menor teniendo en cuenta el signo.
Y eso es todo, saludos.
:
: