Como hallar el dominio de definición y los límites de la siguiente función:
Sea f(x)=ln(x+1)-x
1) hallar Df y calcular lim+inf f(x) y lim (-1)+f(x)
2) calcular lim+inf f(x)/x y lim+inf f(x)+x
3) deducir las variaciones de f en ]-1;0[ y [0;+inf[.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
·
·
¡Hola Sia Lawley!
$$\begin{align}&f(x) = ln(x+1)-x\\&\\&\text{Debe ser el logaritmo de algo positivo}\\&\\&x+1 \gt 0\\&\\&x\gt -1\\&\\&Dom \;f =(-1, \infty)\\&\\&\lim_{x\to \infty} (ln(x+1)-x)=-\infty\\&\\&\text{el logaritmo de x es insignificante respecto a x}\\&\\&\lim_{x\to -1^+}(ln(x+1)-x)=-\infty\\&\\&\\&\\&2)\\&\\&\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \infty}\frac{ln(x+1)-x}{x}=\\&\lim_{x\to \infty}\left(\frac{ln(x+1)}{x}-1\right)=0-1 = -1\\&\\&\text{Por lo mismo que decía antes que el logaritmo}\\&\text{es insignificante frente a x}\\&\\&\lim_{x\to \infty}f(x)+x= \lim_{x\to \infty}(ln(x+1)-x+x)=\\&\lim_{x\to\infty}ln(x+1)=\infty\\&\\&3)\\&\\&\text{La variación en (-1, 0) es } \\&\\&f(0)-\lim_{x\to -1^+}f(x) = ln(0+1)-0-(-\infty)=0+\infty=\infty\\&\\&\text{La variación en }[0,\infty)\\&\\&\lim_{x\to \infty}f(x)-f(0) = -\infty-0= -\infty\end{align}$$:
:
