Como hallar los puntos de cortes de ef con OY y OX?

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¡Hola Sia!

Creo que te has dejado algunos paréntesis y querrías poner

f(x)=ln ((x^2-1)/(2-x))

Numeradores y denominadores compuestos van siempre entre paréntesis.

Respecto a la notación de corchetes giratorios no diré nada, simplemente paso de ella. Luego entiendo que quieren decir que el dominio es:

Dom f = (-inf;-1) U (1,2)

Para que esta función esté definida el argumento del logaritmo neperiano debe ser positivo, estrictamente positivo.

$$\begin{align}&\frac{x^2-1}{2-x}\gt 0\\&\\&\text{pueden darse dos casos}\\&1)\quad x^2-1 \gt 0\qquad y \qquad2-x\gt 0\\&\\&\qquad x^2\gt 1\implies x \in (-\infty,-1) \cup(1,\infty)\\&\qquad x\lt 2 \implies x \in(-\infty, 2)\\&\\&\qquad\text{Y la intersección es } (-\infty, -1)\cup (1,2)\\&\\&2) x^2-1 \lt 0\qquad y \qquad2-x\lt 0\\&\\&\qquad x^2\lt 1 \implies  x \in (-1,1)\\&\qquad x \gt 2\implies x \in (2, \infty)\\&\\&\qquad\text{Y la intersección es } \emptyset\\&\\&\text{Luego el dominio es la uníon y es solo lo del caso 1}\\&\\&Dom \;f = (-\infty, -1)\cup (1,2)\end{align}$$

Los límites son

$$\begin{align}&\lim_{x\to -\infty}ln \left(\frac{x^2-1}{2-x}   \right)= ln \left(\frac{\infty^2}{+\infty}   \right)=ln(+\infty)=+\infty\\&\\&\lim_{x\to -1^-}ln \left(\frac{x^2-1}{2-x}   \right)=ln \left(\frac{0}{3}  \right)=-\infty\\&\\&\lim_{x\to 1^+}ln \left(\frac{x^2-1}{2-x}   \right)=ln \left(\frac{0}{1}  \right)=-\infty\\&\\&\lim_{x\to 2^-}ln \left(\frac{x^2-1}{2-x}   \right)=ln \left(\frac{3}{0^+}  \right)=ln(+\infty) =+\infty\end{align}$$

Yo creo que quieres decir la asíntota oblicua

$$\begin{align}&\lim_{x\to -\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to -\infty} \frac{ln \left(\frac{x^2-1}{2-x}   \right)}{x}=\\&\\&\lim_{x\to -\infty} \frac{ln \left(x^2-1   \right)- ln(2-x)}{x}=\\&\\&\text{quedara más claro transformándolo en límite en} +\infty\\&\\&\lim_{x\to +\infty} \frac{ln \left(x^2-1   \right)- ln(2+x)}{-x}=\\&\\&\text{prescindamos de sumandos insignificantes}\\&\\&- \lim_{x\to +\infty} \frac{ln \left(x^2   \right)- ln(x)}{x}=\\&\\&- \lim_{x\to +\infty} \frac{2\,ln \left(x   \right)- ln(x)}{x}=\\&\\&- \lim_{x\to +\infty} \frac{\,ln \left(x   \right)}{x}=0\\&\\&\text{x es mucho más grande que ln(x) por eso es 0}\end{align}$$

Y al ser 0 no hay asíntota oblicua, lafunción tiende a ser plana pero cuando vale -infinito, no hay ningún tipo de asintota en - infinito.

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Con el eje OY no hay cortes porque la función no está definida en x=0

Para cortar al eje X debe ser

ln(algo) =0

luego algo=1

(x^2 - 1)/(2 - x) = 1

x^2 - 1 = 2 - x

x^2 + x - 3 = 0

$$\begin{align}&x=\frac{-1\pm \sqrt{1+12}}{2}\\&\\&x_1=\frac{-1-\sqrt {13}}{2}\\&\\&x_2=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\end{align}$$

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