Hallar incógnita sabiendo raíz de polinomio

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¡Hola Annie!

Si un número es raíz de un polinomio su valor para ese número es 0

$$\begin{align}&P\left(\frac 34  \right)=4·\left(\frac 34  \right)^3-7· \left(\frac 34  \right)^2-5·\left(\frac 34  \right)+a=0\\&\\&4·\frac {27}{64}-7·\frac{9}{16}-\frac {15}4+a=0\\&\\&\frac{27}{16}-\frac{63}{16}-\frac{15}{4}+a =0\\&\\&\frac{27-63-60}{16}+a=0\\&\\&-\frac{96}{16}+a = 0\\&\\&a=\frac{96}{16}=6\\&\\&\text{con ello el polinomio es}\\&\\&P(x)= 4x^3-7x^2-5x+6\end{align}$$

Ahora se supone que deberías aplicar Ruffini a 3/4 que sabes que es raíz del polinomio.  Lo malo es que no sé como saldrá porque en esta página se comen los espacios cuando les da la gana.  A lo mejor sale todo descentrado

 ........ 4     -7      -5     6

3/4              3     -3    -6

 ........ ------------------------

........ 4     -4      -8     0

Luego queda

4x^2 - 4x - 8 = 4(x^2 - x - 2)=

Y esto si no sabes factorizarlo lo haces resolviendo la ecuación de segundo grado

=4(x-2)(x+1)

Juntando la ráiz 3/4 queda

4(x-2)(x+1)(x-3/4) =

El factor 4 lo introducimos dentro del último paréntesis

=(x-2)(x+1)(4x -3)

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Muchas gracias por tu respuesta, el apartado b me ha quedado bastante claro pero no logro entender porque el denominador común es 16 y no 60. Saludos

Puntúa la pregunta con Excelente, está perfectamente respondida.

El denominador común es 16 porque es múltiplo de todos los denominadores, los denominadores son 16, 16 y 4, luego está claro que el mínimo común múltiplo es 16.

Saludos.

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Perdona por mi pesadez pero no entiendo por qué en el apartado 4*(27/64) no seria 108/64 en lugar de 27/16

¿Los múltiplos no seriam 64, 16 y 4? 

Saludos y de nuevo gracias.

Si, pero yo me permití hacer antes la simplificación aunque no la escribí:

$$\begin{align}&4·\frac{27}{64}\\&\\&\text{La forma más larga de calcularlo es:}\\&\\&4·\frac{27}{64} = \frac{4·27}{64}= \frac{108}{64}=\\&\\&\text{Y ahora dividimos por 4 numerador y denominador}\\&\\&= \frac{27}{16}\\&\\&\text{Mientras que la forma más óptima es:}\\&\\&4·\frac{27}{64} = \frac{4·27}{64}=\\&\\&\text{Y en vez de multiplicar simplificamos dividiendo por 4}\\&\\&\frac{1·27}{16}=\frac{27}{16}\end{align}$$

Siempre que puedas simplificar las fracciones antes de hacer la suma, hazlo, será todo mucho más fácil.

Saludos.

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Perfecto, ahora sí lo entiendo, gracias por tu ayuda tan desinteresada, saludos.