Álgebra lineal numérica-Vectores Ortogonales
Demostrar que si x e y son eigenvectores correspondientes a distintos eigenvalores, entonces x e y son ortogonales.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Luigi Bogo!
Mejor que x e y voy a llamarlos x1 y x2, así llamaré lambda1 y lambda2 al respectivo valor propio.
Por definición de valores propios se cumple
$$\begin{align}&Ax_1=\lambda_1\,x_1\\&Ax_2=\lambda_2\,x_2\\&\\&\text{Multiplicamos cada una a izquierda por el otro }\\&\text{vector propio transpuesto}\\&\\&x_2^TAx_1=x_2^T\lambda_1x_1\\&x_1^TAx_2=x_1^T \lambda_2x_2\end{align}$$Para poder llegar a lo que me dicen me parece que es indispensable que la matriz sea simétrica. Mira a ver si te lo dicen por algún lado.
Saludos.
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Profesor es correcto su sugerencia se me paso, la matriz es simétrica
Entonces debes tener en cuenta que cuando se multiplican dos matrices una que es una fila y otra de columna
A 1xn
B nx1
El producto es conmutativo
AB = BA
$$\begin{align}&A_{1xn}\\&\\&B_{nx1}\\&\\&\text{estos productos conmutan}\\&\\&AB = B^TA^T\\&\\&\text{Por lo cual}\\&\\&(x_2^TA)x_1=x_1^T(x_2^TA)^T=x_1^T(A^Tx_2)=\\&\\&\text{y por ser A simétrica}\\&=x_1^TA\,x_2\\&\\&\text{Y sustituyendo en la primera de las igualdades anteriores}\\&\\&x_1^TA\,x_2=x_2^T\lambda_1\,x_1\\&x_1^TA\,x_2=x_1^T\lambda_2\,x_2\\&\\&\text{retocamos los lados derechos}\\&\\&x_1^TA\,x_2=\lambda_1x_2^T\,x_1\\&x_1^TA\,x_2=\lambda_2x_1^T\,x_2\\&\\&\text{Y aplicando lo dicho antes de la conmutación}\\&\text{del producto de matrices fila por matrices columna}\\&\\&x_1^TA\,x_2=\lambda_1x_1^T\,x_2\\&x_1^TA\,x_2=\lambda_2x_1^T\,x_2\\&\\&\text{Restándolas}\\&0=(\lambda_1-\lambda_2)x_1^T\,x_2\\&\\&como\\&\lambda_1\neq \lambda_2\implies \lambda_1-\lambda_2\neq 0\implies x_1^T\,x_2=0\\&\\&\text{Luego }x_1\text{ y }x_2 \text{ son ortogonales}\\&\end{align}$$:
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