Utilizando la PRIMERA parte del Teorema fundamental del cálculo (TFC), calcular lo siguiente

;)

Hola José!

Respondemos en general un ejercicio por pregunta

Te hago el último Teorema

$$\begin{align}&\frac{d}{dx} \int_{-x^2}^2 e^{-t^3}dt=f(b(x))·b'(x)-f(a(x))·a'(x)=\\&\\&e^{-x^2}·0-e^{-(-x^2)^3}·(-2x)=2xe^{x^6}\end{align}$$

$$\begin{align}&2.-\\&\\&\frac{d}{dx} \int_{-x}^5 (sent^2+3)dt=(sen5^2+3)0-[sen(-x)^2+3](-1)=senx^2+3\end{align}$$

Saludos

;)

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¡Hola José!

Efectivamente, el primero responde al esquela del teorema que dice

$$\begin{align}&F(x)=\int_a^xf(t)dt\implies F'(x) = f(x)\\&\\&\text{luego}\\&\\&a)\frac{d}{dx}\int_3^x(5t^3+10)dt=5x^3+10\\&\\&b)\\&\\&\int_{-x}^5(\sin t^2+3)dt= \int_5^{-x}(-\sin t^2-3)dt=\\&\\&u=-t\\&du=-dt\\&t=5\implies u=-5\\&t=-x\implies u=x\\&\\&=\int_{-5}^x\left(-\sin[(-u)^2]-3\right)(-du)=\int_{-5}^x(\sin\,u^2+3)du\\&\\&\text{ luego}\\&\\&\frac d{dx}\int_{-x}^5(\sin t^2+3)dt=\frac{d}{dx} \int_{-5}^x(\sin\,u^2+3)du=\sin x^2+3\\&\\&\text{este segundo lo tenías mal}\\&\\&\\&c) \\&\\&\int_{-x^2}^2 e^{-t^3}dt=\int_2^{-x^2}-e^{-t^3}dt=\\&\\&\int_2^0-e^{-t^3}dt+\int_0^{-x^2} -e^{-t^3}dt=\\&\\&C+\int_0^{-x^2} -e^{-t^3}dt=\\&\\&u= \sqrt {-t}\implies t=-u^2\\&du= -\frac{dt}{2 \sqrt{- t}}  \implies dt=-2 \sqrt{-t}\, du=-2u\,du\\&t=0\implies u=0\\&t=-x^2\implies u=\sqrt{-(-x^2})=x\\&\\&=C+\int_0^x-e^{-u^6}·(-2u\,du)= C+\int_0^x2u\,e^{-u^6}du\\&\\&Luego\\&\\&\frac{d}{dx}\int_{-x^2}^2 e^{-t^3}dt=\frac d{dx}\left(C+\int_0^x2u\,e^{-u^6}du  \right)=2x\,e^{-x^6}\end{align}$$

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Con esquela quería decir esquema

Ya veo que te lo han resuelto usando una super fórmula, está muy bien. Pero si no tuvieses porque saber esa super fórmula, la resolución es como yo la he hecho.

¡Gracias!

Con estas 2 formas de hacer los procedimientos quedo mucho más claro.