Calculo Integral. Resolver la función que se muestra en la imagen de integral definida.

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¡Hola Cynthia!

$$\begin{align}&\int_1^8 \frac{x^{\frac 12}}{1+ x^{\frac 12}}dx=\\&\\&t=x^{\frac 12}\implies x=t^2\\&dx=2t\;dt\\&x=1\implies t= 1^{\frac 12}=1\\&x=8\implies t=8^{\frac 12}= 2 \sqrt 2\\&\\&=\int_1^{2 \sqrt 2}\frac{t}{1+t}·2t\;dt=2\int_1^{2 \sqrt 2}\frac{t^2}{1+t}\;dt=\\&\\&\text{hay que hacer la división entera o por Ruffni y queda}\\&\\&2\int_1^{2 \sqrt 2} \left(t-1 + \frac{1}{1+t}\right)dt=\\&\\&2\left[\frac {t^2}2-t+ln|1+t|  \right]_1^{2 \sqrt 2}=\\&\\&2\left(4-2 \sqrt 2 + ln (1+2 \sqrt 2)-\frac 12+1-ln \,2 \right)=\\&\\&2\left(\frac 92-2 \sqrt 2+ ln(1+2 \sqrt 2)-ln \,2  \right)=\\&\\&9- 4 \sqrt 2+ 2\,ln(1+2 \sqrt 2)-ln \,4\approx 4.64175948\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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Hola Cynthia!

Hagamos primero la integral:

$$\begin{align}&\int \frac{x^{\frac{1}{2} }}{1+x^{\frac{1}{2}}}dx=\\&\\&x^{\frac{1}{2}}=t \Rightarrow x=t^2 \Rightarrow dx=2tdt\\&\\&\int \frac{t}{1+t}2t dt=\int \frac{2t^2}{t+1} dt\\&\\&Ruffini:\\&!\ º\ \ \ \ \  \ \ \ \ \  \ 2 \ \  \  \ 0 \  \  \  \  0\\&\ -1 \ \ \ \ \ \ \ \ \   -2 \ \ \ \ 2\\&\ ------------------,\\&!\ º\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2 \   -2 \  \  \  \  2=resto\\&cociente \ \ 2t-2\\&\\&\int(2t-2+\frac{2}{t+1})dt=t^2-2t+2ln|t+1|=\\&=x-2 \sqrt x +2 ln |\sqrt x  +1 |  \Bigg |_1^8=\\&\\&8-2 \sqrt 8 +2 ln | \sqrt 8 +1 |-(1-2+2ln2)=\\&=9-2 \sqrt 8+ 2 ln | \sqrt 8 +1 |-2ln2=\\&\simeq 4.641759482\end{align}$$

Saludos

;)

:)