Sean las siguientes funciones:Usando las tres funciones demuestra que No se cumple la propiedad conmutativa en la composición de
Sean las siguientes funciones:
$$\begin{align}& 𝑓(𝑥) = 𝑥^2 − 6 \end{align}$$$$\begin{align}&𝑔(𝑥) = \frac{1}{x-2}\end{align}$$$$\begin{align}& h(𝑥) = \sqrt{x+2}\end{align}$$a) Usando las tres funciones demuestra que No se cumple la propiedad conmutativa en la composición de funciones.
b) Usando las tres funciones demuestra que Si se cumple la propiedad asociativa en la composición de funciones.
c) Calcula el dominio de la función𝑓 ∘𝑔 ∘ h
d) Calcula el dominio de la función𝑔 ∘ h ∘𝑓
1 respuesta
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¡Hola Lola!
a) La propiedad conmutativa siempre se prueba usando dos funciones, si se usan las tres hay 6 combinaciones posibles. ¿Cuáles dos elegimos?
$$\begin{align}&(f\circ g)(x) = f(g(x))=(g(x))^2-6=\\&\\&\frac{1}{(x-2)^2}-6=\frac{1-6x^2+24x-24}{(x-2)^2}=\\&\\&\frac{-6x^2+24x-23}{(x-2)^2}\\&\\&\\&(g\circ f)(x)=g(f(x))=\frac{1}{f(x)-2}=\\&\\&\frac{1}{x^2-6-2}=\frac{1}{x^2-8}\end{align}$$Y con eso ya se ve que no son conmutativas y yo creo que no haría falta hacer más. Ahora bien, si quieres prueba con foh y goh.
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b)
Demostrar no se puede demostrar por probar una vez, que me parece que es lo que quieren que hagas y cuesta mucho. Lo que vamos a hacer es demostrar por definición de composición de funciones y eso servirá para cualesquiera funciones que nos pongan por delante
$$\begin{align}&[f\circ(g\circ h)](x) = f[(g\circ h)(x)]=f(g[h(x)])\\&\\&[(f \circ g)\circ h)](x)=(f\circ g)[h(x)]=f(g[h(x)])\end{align}$$Es un ejercicio bastante largo, deberías mandar lo de los dominios en otras preguntas.
Saludos.
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