Demostrar que las siguientes integrales son lo mismo:
- Integrar: sen√x dx cuando el limite va de 0 a 4.
- Integrar: 2xsenx cuando el limite va de 0 a 2.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Esteban!
Vamos a resolver, yo creo que con un simple cambio de variable saldrá la otra.
$$\begin{align}&\int_0^4 sen \sqrt x\; dx\\&\\&\text{Está claro que hay que hacer el cambio}\\&\\&t = \sqrt x\\&dt = \frac{dx}{2 \sqrt x}= \frac {dx}{2t}\implies dx = 2t\,dt\\&\\&\text{y ahora hay que adaptar los límites de integración a t}\\&\\&Si\; x=0\implies t=\sqrt 0 =0\\&Si\; x=4 \implies t=\sqrt 4=2\\&\\&\text{Y con todo esto el cambio quedará}\\&\\&=\int_0^2 sen\,t·2t\;dt=\int_0^22t\, sen\,t\; dt=\\&\\&\text{que si lo expresamos con la variable x es}\\&\\&=\int_0^22x\, sen\,x\; dx\end{align}$$Luego sí, son lo mismo. Y eso es todo, saludos.
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