¿Cómo demostrar el siguiente límite (epsilon-delta)?
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$$\begin{align}&\lim_{x \rightarrow}(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2x})=\frac{1}{2}\end{align}$$Nota. En la formula en latex aparece una barra, no se quita, pero ignorarlo por favor.
Intente simplificar f(x) - 1/2 pero eso es igual a 1/2, entonces no sé como acotarlo de tal manera de obtener a |x - 2| en la expresión.
1 Respuesta
Había olvidado responder esta pregunta. Una disculpa. El límite real es:
$$\begin{align}&\lim_{x \rightarrow 2}\frac{1}{1+x}-\frac{1}{2x}=\frac{1}{12}\end{align}$$Espero pueda ayudarme. De hecho aún no he podido resolverlo.
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Es un límite sencillo, no se produce ninguna indeterminación luego solo es hacer la cuenta sustituyendo x por 2.
$$\begin{align}&\lim_{x\to 2}\left(\frac 1{1+x}-\frac 1{2x} \right)=\frac{1}{1+2}-\frac{1}{4}=\\&\\&\frac 13-\frac 14=\frac{4-3}{12}= \frac 1{12}\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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Lo que pasa es que tenía que hacerlo con epsilon y delta, pero hace 1 minuto acabo de resolverlo, trabajando con delta = 1 pude acotar lo necesario. Saludos.
Si ya lo hiciste a grandes rasgos es esto, tendrás que poner toda la palabrería y adornos.
$$\begin{align}&\left|\frac{1}{x+1}-\frac 1{2x}-\frac 1{12} \right|=\\&\\&\left|\frac{12x-6(x+1)-x(x+1)}{12x(x+1)} \right|=\\&\\&\left|\frac{12x-6x-6-x^2-x}{12x(x+1)} \right|=\\&\\&\left|\frac{-x^2+5x-6}{12x(x+1)} \right|=\\&\\&\left|\frac{x^2-5x+6}{12x(x+1)} \right|=\\&\\&\left|\frac{(x-3)(x-2)}{12x(x+1)} \right|=\\&\\&\text{Tomando un delta inicial }\delta_1=1\\&\text{ para los }x\in(1,3)\text{ se cumple}\\&\\&=\frac{3-x}{12x(x+1)}|x-2|\\&\\&\text{Y la función } \frac{3-x}{12x(x+1)}\\&\text{es continua en (1,3), alguna cota tendrá en él.}\\&\text{El numerador decrece y el denominador crece}\\& \text{Luego el máximo está en x=1}\\&\\&K=\frac {3-1}{12·1(1+1)}=\frac 2{24}=\frac 1{12}\\&\\&\text{luego}\\&\\&\left|\frac{1}{x+1}-\frac 1{2x}-\frac 1{12} \right|\le \frac 1{12}|x-2|\\&\\&\text{y si }|x-2|\lt \delta\\&\\&\left|\frac{1}{x+1}-\frac 1{2x}-\frac 1{12} \right|\lt \frac 1{12}\delta\le\epsilon\\&\\&\text{Luego tomaremos}\\&\\&\delta=mín\left\{1,12\epsilon \right\}\\&\end{align}$$Sa lu dos.
