4. Describe si las siguientes funciones son una función simétrica y por qué

Creo que más que simétricas se refiere a si las funciones son pares o impares. Las funciones pares son simétricas respecto al eje x=0 y las funciones impares son simétricas respecto al punto (0,0). En el cálculo de integrales, dependiendo de si es par o impar, sucede algo de lo siguiente:

$$\begin{align}&Si\ f(x)\ es\ par \int_{-a}^{a}f(x) dx= 2 \int_{0}^{a}f(x) dx\\&Si\ f(x)\ es\ impar \int_{-a}^{a}f(x) dx= 0\end{align}$$

Ahora veamos los ejercicios:

$$\begin{align}&a)  \int_{-3}^{3} 6x^2 dx\\&\text{Veamos que }6x^2 \text{es par:}\\&f(-x) = 6(-x)^2 = 6x^2 = f(x) \to es\ par\\&\therefore\\&\int_{-3}^{3} 6x^2 dx=\int_{0}^{3} 6x^2 dx= 6 \frac{x^3}{3}\bigg|_0^3=2 x^3\bigg|_0^3=\\&2\cdot 3^3 - 0 = 54\\&b) \int_{-10}^{10} 5x^3 dx\\&\text{Supongo que el límite inferior es -10, ya que si fuese 10, la integral sería 0}\\&\text{Veamos que }5x^3 \text{es impar:}\\&f(-x) = 5(-x)^3 = -5x^3 = - (5x^3) = -f(x) \to es\ impar\\&\therefore\\& \int_{-10}^{10} 5x^3 dx=0\end{align}$$

;)

Hola Jose!

Par si f(x)=f(-x)

Impar si -f(x)=f(-x)

1.- Al ser par:

$$\begin{align}&f(x)=6x^2\\&f(-x)=6(-x)^2=6x^2\\&\\&\int_{-3}^3f(x)=2 \int_0^3 6x^2dx=12 \int x^2dx=\\&\\&12 \Bigg [\frac{x^3}{3} \Bigg ]_0^3=12 \Bigg (\frac{27}{3}-0 \Bigg )=12·9=108\end{align}$$

2.- Es impar con lo que la integral da cero.

Comprobación:

$$\begin{align}&f(x)=5x^3\\&f(-x)=5(-x)^3=-5x^3\\&-f(x)=-5x^3\\&f(-x)=-f(x) \Rightarrow Impar \Rightarrow \int_{-a}^af(x)dx=0\\&Comprobación\\&\int_{-10}^{10}5x^3dx=5 \Bigg [\frac{x^4}{4} \Bigg ]_{-10}^{10}=\frac{5}{4} \Bigg (10^4-(-10)^4 \Bigg)=\frac{5}{4}(10^4-10^4)=0\end{align}$$

Saludos

;)

;)