Resolver la ecuación diferencial no lineal
Me pueden ayudar resolviendo esta ecuación diferencial no lineal homogénea por que intente, pero en una integral me quedo estancado y según estaba viendo es por partes pero no se como se hace. Esta es la ecuación:
$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}=-\frac{y(2x^3-y^3)}{x(2y^3-x^3)}\end{align}$$
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¡Hola Wlady!
Voy a aligerar, ya tienes dos ejercicios donde aparece la teoría, luego iré rápido.
$$\begin{align}&\text{Cambio }\quad y=ux\\&\\&\frac{du}{dx}·x=\frac{ux(2x^3-u^3x^3)}{x(2u^3x^3-x^3)}=\frac{2u-u^4}{2u^3-1}\\&\\&\frac{2u^3-1}{2u-u^4}du =\frac {dx}{x}\\&\\&-\frac{2u^3-1}{u^4-2u}=\frac{dx}x\\&\\&-\frac 12·\frac{4u^3-2}{u^4-2u}=\frac {dx}x\\&\\&-\frac 12 ln(u^4-2u)=ln\,x + ln\,C\\&\\&ln\Big((u^4-2u)^{-\frac 12}\Big)=ln\;Cx\\&\\&\frac{1}{\sqrt{u^4-2u}}=Cx\\&\\&\frac{1}{\sqrt{\frac{y^4}{x^4}-2 \frac yx}}=Cx\\&\\&\frac{1}{\sqrt{\frac{y^4-2x^3y}{x^4}}}=Cx\\&\\&\frac{x^2}{\sqrt{y^4-2x^3y}}=Cx\\&\\&\frac{x}{\sqrt{y^4-2x^3y}}=C\\&\\&\text{o mejor}\\&\\&\sqrt{y^4-2x^3y}=Cx\\&\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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Hago este y termino, no estoy muy acertado, tengo muchas cosas que hacer y no es lo mejor para resolver ecuaciones diferenciales.
$$\begin{align}&\text{Cambio }\quad y=ux\\&\\&\frac{du}{dx}·x+u=-\frac{ux(2x^3-u^3x^3)}{x(2u^3x^3-x^3)}=-\frac{2u-u^4}{2u^3-1}\\&\\&\frac {du}{dx}x=-\frac{2u-u^4}{2u^3-1}-u\\&\\&\frac {du}{dx}x=\frac{-2u+u^4-2u^4+u}{2u^3-1}=\frac{-u^4-u}{2u^3-1}\\&\\&\frac{1-2u^3}{u^4+u}du =\frac{dx}{x}\\&\\&\frac{1-2u^3}{u^4+u}=\frac{a}{u}+\frac{b}{u+1}+\frac{cu+d}{u^2-u+1}=\\&\\&\frac{a(u+1)(u^2-u+1)+bu(u^2-u+1)+(cu+d)u(u+1)}{u^4+u}\\&\\&Para \\&u=0\implies 1=a·1·1\implies a=1\\&u=-1\implies 3=b(-1)(3)\implies b=-1\\&\\&\text{sustituyendo a y b queda}\\&\\&1-2u^3=u^2-u+1+(cu+d)u(u+1)=\\&u^2-u+1+cu^3+cu^2+du^2+du\implies\\&c=-2\\&d=1\\&\\&\int \frac{du}{u}-\int \frac{du}{u+1}+\int \frac{-2u+1}{u^2-u+1}du=ln (Cx)\\&\\&ln\,u-ln(u+1)-ln(u^2-u+1)=ln(Cx)\\&\\&\frac{u}{(u+1)(u^2-u+1)}=Cx\\&\\&\frac{u}{u^3+1}=Cx\\&\\&\frac{\frac yx}{\frac{y^3}{x^3}+1}=Cx\\&\\&\frac{\frac yx}{\frac{y^3+x^3}{x^3}}=Cx\\&\\&\frac{x^2y}{y^3+x^3}=Cx\\&\\&C(y^3+x^3)=xy\\&\\&\text{Se puede poner también como}\\&\\&x^3+y^3=Cxy\\&\\&\end{align}$$Revísalo bien, por esta noche no hago más de estos.
Saludos.
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1 respuesta más de otro experto
Dejame decirte que te equivocaste desde el principio porque es así:
$$\begin{align}&y=ux\\&\\&-\frac{ux(2x^3-u^3x^3)}{x(2u^3x^3-x^3)}\\&\frac{dy}{dx}x+u=\frac{-2u+u^4}{2u^3-1}\\&\frac{dy}{dx}x=\frac{-2u+u^4-u(2u^3-1)}{2u^3-1}=\frac{-u^4-u}{2u^3-1}\end{align}$$por lo cual tu sabes que eso perjudica todo y la respuesta que me salio a mi es:
$$\begin{align}&y^3+x^3=-x^3yc\end{align}$$pero nose si estare bien
Perdón me equivoque al escribir es donde esta (dy/dx)x es (du/dx)x