Despejar la y en la siguiente ecuación

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¡Hola Wlady!

Deja que haga el ejercicio entero, así ma aseguro que está bien la respuesta.

Era resolver la ecuación diferencial

y^3dx+2(x^3-xy^2)dy = 0

que es una ecuación homogénea.

$$\begin{align}&y^3dx+2(x^3-xy^2)dy = 0 \\&\\&2(x^3-xy^2)dy =-y^3dx\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{-y^3}{2(x^3-xy^2)}\\&\\&\text{El cambio es }\;y=ux\\&\\&\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}·x + u\\&\\&Aplicando el cambio a nuestra ecuación queda\\&\\&\frac{du}{dx}x + u = \frac{- u^3x^3 }{ 2(x^3 - xu^2x^2)}\\&\\&\frac{du}{dx}·x + u = - \frac{u^3}{2(1 -u^2)}\\&\\&\frac{du}{dx} = -\frac{u^3}{2(1-u^2)} -u = \frac{-u^3 -2u+2u^3}{ 2(1-u^2)} = \frac{u^3-2u}{2(1-u^2)}\\&\\&\frac{2(1-u^2)}{u^3-2u}du = \frac {dx}{x}\end{align}$$

Ahora biene resolver la integral izquierda que es un poquillo complicada, la hago aparte porque el ordenador ya se atraganta con el cuadro de fórmulas que llevamos.

$$\begin{align}&I = \int \frac{2-2u^2}{u^3-2u}du \\& \\& \frac{2-2u^2}{u^3-2u}=\frac{a}{u}+\frac{bu+c}{u^2- 2}\\& \\& 2 - 2u^2 = au^2-2a+bu^2+cu\\& u=0\implies2=-2a\implies a=-1\\& u=1 \implies 0=-a+b+c\implies b+c=-1\\& u=-1 \implies 0= -a+b-c\implies b-c=-1\\& \\& 2b=-2\\& b=-1\\& c=0\\& \\& I=-\int \frac{du}{u}-\int \frac{u}{u^2-2}du =\\& \\& -ln\,u- \frac 12ln(u^2-2)\\& \\& \text{la solución es}\\& \\& -ln\,u- \frac 12ln(u^2-2) = ln\,x+ ln\;C\\&\\&\text{mejor cambio los signos}\\& \\& ln\,u+ \frac 12ln(u^2-2)= - (ln\,x+ln C)\\&\\&ln(u·\sqrt{u^2-2})=ln \left(\frac{1}{Cx}\right)\\&\\&u \sqrt{u^2-2}=\frac 1 {Cx}\\& \\& \text{Y deshacemos el cambio}\\&\\&\frac{y}{x} \sqrt{\frac{y^2}{x^2}-2}=\frac 1 {Cx}\\& \\&\frac{y}{x^2}\sqrt{y^2-2x^2}=\frac{1}{Cx}\\&\\&y \sqrt{y^2-2x^2}=\frac{x}{C}\\&\\&\text{Aquí nos damos cuenta que quedaría mejor así}\\&\\&y \sqrt{y^2-2x^2}=Cx\end{align}$$

Y disculpa de esta ecuación:

$$\begin{align}&x(ln(\frac{y}{x})−1)+yln(y)=cy\end{align}$$

y de esta otra ecuacion:

$$\begin{align}&(e^\frac{y}{x})(\frac{y}{x}−1)=lnx+c\end{align}$$

vale despejar la "y" o de igual forma queda de mejor manera tal y cual esta

Pero es que yo no sé como has llegado a esas respuestas, no creo que estén bien.

crees que te pueda mandar las ecuaciones

¡Ah, es que yo pensaba que era todo la misma ecuación y esas eran las formas que dabas a la respuesta, por eso me parecía muy raro lo que hacías.

Pues te agradecería que mandaras cada una en una pregunta distinta. Ya he llevado bastante trabajo con lo hecho hasta ahora.