Ejercicios sobre los números complejos!

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Hola sia!

Z=a+bi  

el módulo se calcula 

$$\begin{align}&|z|=\sqrt {a^2+b^2}\\&\\&argumento :\\&tan(\alpha)=\frac{b}{a}\\&\\&z_1=2-2i\\&\\&|z_1|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt 8=2 \sqrt 2\\&\\&tan (\alpha)=\frac{-2}{2}=-1\\&a>0\\&b<0 está en \ el \ 4to  \ cuadrante \Rightarrow \alpha=arctan(-1)=-45º=315º\\&\\&Z_1=(2 \sqrt 2)_{315º}\\&\\&Z_2=4-4 \sqrt 3          \ i \Rightarrow |Z_2|=\sqrt{4^2+(4 \sqrt 3})^2=\sqrt {16+16·3}=\sqrt {64}=8\\&a>0\\&b<0\\&\Rightarrow 4t \ cuadrante \Rightarrow tan(\alpha)=\frac{-4 \sqrt 3}{4}=-\sqrt 3 \Rightarrow \alpha=-60º=300º\\&\\&Z_2=8_{300º}\\&\\&\frac{Z_1}{Z_2}=\frac{(2 \sqrt 2)_{315º}}{8_{300º}}=\Bigg(\frac{2 \sqrt 2}{8} \Bigg)_{315º-300º}=\Bigg (\frac{\sqrt 2}{4} \Bigg)_{15 º}\\&\\&\\&\frac{Z_1}{Z_2}=\frac{2-2i}{4-4 \sqrt 3 i}·\frac{4+4 \sqrt 3 i}{4+4 \sqrt 3 i}=\\&\\&\frac{8+8 \sqrt 3 \ i -8i-8 \sqrt 3 \ i^2}{4^2-(4 \sqrt 3 i)^2}=\\&\\&\frac{8+8 \sqrt 3 \ i -8i+8 \sqrt 3 }{16+48 }=\frac{8+8 \sqrt 3}{64}+\frac{8 \sqrt 3 -8}{64}i=\\&\\&=\frac{1+\sqrt 3}{8}+\frac{ \sqrt 3 -1}{8}i\end{align}$$

Saludos;

;)

;)

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¡Hola Sia!

$$\begin{align}&1)\\&\\&Z_1=2-2i\\&\\&|Z_1|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt 8= 2 \sqrt 2\\&\\&\alpha=arctg \frac{Im(z)}{Re(z)}= arctg \frac{-2}{2}= arctg(-1)\\&\\&\alpha = -45º=315º\\&\\&\text{coincide con el cuadrante donde está 2-2i}\\&\\&Z_1=2 \sqrt 2_{315º}\\&\\&\\&\\&Z_2=4-4 \sqrt 3 i\\&\\&|Z_2|=\sqrt {16+48}=8\\&\\&\alpha= arctg \frac{-4 \sqrt 3}{4}= arctg (-\sqrt 3)=-60º=300º\\&\\&\text{ese es el cuadrante de }Z_2\\&\\&Z_2=8_{300º}\\&\\&\\&2)\\&\\&\frac{Z_1}{Z_2}=\left(\frac{|Z_1|}{|Z_2|}  \right)_{\alpha_1-\alpha_2}=\left(\frac{2 \sqrt 2}{8}\right)_{315º-300º}=\left(\frac{\sqrt 2}{4}   \right)_{15º}\\&\\&\\&\frac{Z_1}{Z_2}=\frac{2-2i}{4-4 \sqrt 3 i}=\frac{(2-2i)(4+4 \sqrt 3 i)}{(4-4 \sqrt 3 i)(4+4 \sqrt 3 i)}=\\&\\&\frac{8+8 \sqrt 3 i-8i-8 \sqrt 3 i^2}{16-48i^2}=\frac{8+8 \sqrt 3 i-8i+8 \sqrt 3 }{64}=\\&\\&\frac{1+\sqrt 3+( \sqrt 3-1)i}{8}=\frac{1+\sqrt 3}8+i·\frac{ \sqrt 3-1}{8}\\&\\&\\&3)\\&\\&\frac{\pi}{12}=\frac{180º}{12}=15º\\&\\&\text{Sabemos que}\\&\\&r_{\alpha}=r(\cos \alpha+i·sen\alpha)\\&\\&\text{nosotros hemos calculado un número complejo de las dos formas}\\&\\&\left(\frac{\sqrt 2}{4}   \right)_{15º}=\frac{1+\sqrt 3}8+i·\frac{ \sqrt 3-1}{8}\\&\\&\text{Luego la parte derecha debe ser de la forma }r(\cos\alpha+i·sen \alpha)\\&\\&\left(\frac{\sqrt 2}{4}   \right)(\cos 15º+i· sen\,15º)=\frac{1+\sqrt 3}8+i·\frac{ \sqrt 3-1}{8}\\&\\&\cos 15º+i· sen\,15º=\frac{4(1+\sqrt 3)}{8 \sqrt 2} +i·\frac{4( \sqrt 3-1)}{8 \sqrt 2}\\&\\&\text{igualando partes reales e imaginarias}\\&\\&\cos 15º=\frac{1+ \sqrt 3}{2 \sqrt 2}=\frac{\sqrt 2+ \sqrt 6}{4}\\&\\&sen \,15º= \frac{\sqrt 3 -1}{2 \sqrt 2}=\frac{\sqrt 6-\sqrt 2}{4}\end{align}$$

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