Se tiene un tablero de n*n, donde n es un entero positivo y se escriben en cada una de sus filas los números del 1 al n en algún
Se tiene un tablero de n por n, donde n es un entero positivo y se escriben en cada una de sus filas los números del 1 al n en algún orden, de modo que el arreglo obtenido se simétrico respecto a la diagonal. Se desea que la diagonal del tablero no contenga todos los números del 1 al n. . Demostrar que esto siempre es posible cuando n es par y que es imposible cuando n es impar
1 Respuesta
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¡Hola Jaime!
Al ser un tablero simetrico respecto de la diagonal, arriba y abajo de ella están las mismas cifras. Luego quitando la diagonal, toda cifra estará un número par de veces.
Entonces si el número de filas es impar las cifras estarán un número impar de veces y como fuera de la diagonal están un número par de veces tendrán que estar n-1 veces fuera y una vez dentro, con lo cual la diagonal tiene que tener por obligación todas las cifras. Y existe siempre porque es muy fácil construirlo, pones en la primera fila
1234... n
Y en la primera columna eso mismo en vertical.
En la segunda fila a partir de la segunda posición pones las n-1 cifras que faltan de modo que no coincida ninguna con la de arriba. Y eso mismo lo pones en vertical.
Y haces lo mismo en la tercera fila desde la tercera posición haciendo que no coincidan nunca cifras en vertical con las de arriba y eso mismo lo pones en columna. Y así hasta terminar.
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Pero si el número de filas es par entonces habrá algunas cifras que estén n veces y otras n-2 o n-4 o n -6, etc. Alguna por obligación tiene que estar n veces, ya que si todas estuvieran n-2 veces o menos faltarían 2n por poner y en la diagonal solo caben n. Luego las cifras que estén n veces fuera de la diagonal ya no pueden estar en ella y la diagonal no será 1,2,..., n
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Y eso creo que es todo. Espero que te sirva y lo hayas entendido.
Saludos.
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