Como resolver problemas de conteo análisis combinatorio..
- ¿De cuántas formas se pueden colocar los enteros del 1 al 15 en una línea de modo que ningún entero quede en su posición natural?.
1 Respuesta
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¡Hola CarolinaBoni!
En principio tenemos P(15) formas de ponerlos. Y ahora iremos restando aquellas donde hay una, sumando las que hay dos, restando las que hay tres, sumando las que hay 4, etc.
En total será:
P(15) - C(15,1)·P(14) + C(15,2)P(13) - C(15,3)·P(12) + C(15,4)·P(11) - C(15,5)·P(10) + ... - C(15,15)·P(0)=
Curiosamente si desarrollamos las combinaciones mediante factoriales se simplifican el factorial de las permutaciones con uno del denominador
15! - 15!/1! + 15! / 2! - 15! /3! + 15! /4! - 15!/5! +... - 15! / 15! =
15!( 1 - 1 + 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5! + ... - 1/15!) =
15!(1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5! + ... - 1/15!) =
A fin de que los pequeños puedan llegar a pintar algo en el resultado final el preferible sumarlos los primeros
=15!(-1/15! + 1/14! - 1/13! + ....- 1/3! + 1/2!)
Pero como realmente saldrá bien es con una supercalculadora con muchos decimales y con la primera operación que toda de números enteros, es decir, hacer la cuenta:
15! / 2! - 15! /3! + 15! /4! - 15!/5! +... - 15! / 15!= 481066515734
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