Empresa vinícola c(x)=x^2/4+3x+400 Costo marginal y promedio

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Hola Fab!

1.- El costo marginal es la derivada del costo:

$$\begin{align}&C(x)=\frac{x^2}{4}+3x+400\\&\\&C'(x)=\frac{2x}{4}+3=\frac{x}{2}+3\\&\\&Mínimo \Rightarrow C'(x)=0\\&\\&\frac{x}{2}+3=0\\&x=-6\\&\\&b) \\&Costo Promedio \\&\\&\overline{C}=\frac{C(x)}{x}=\frac{x}{4}+3+\frac{400}{x}\\&\\&Mínimo \Rightarrow \overline{C} \ '=0\\&\\&\overline{C} \ '=\frac{1}{4}-\frac{400}{x^2}\\&\\&\frac{1}{4}-\frac{400}{x^2}=0\\&\\&\frac{1}{4}=\frac{400}{x^2}\\&\\&x^2=1600\\&\\&x=\sqrt {1600}=40\end{align}$$

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¡Hola Fab!

El costo marginal es la derivada del costo:

$$\begin{align}&c(x)=\frac{x^2}4+3x+400\\&\\&C_{marg}(x) = C'(x) = \frac x2+3\\&\\&\text{Y para hallar el mínimo del coste marginal }\\&\text{lo derivamos e igualamos a 0}\\&\\&C'_{marg}(x)=\frac 12=0\\&\\&\text{No tiene mínimo relativo, luego}\\&\text{lo tiene en los extremos}\\&\\&\text{Como } \frac x2+3 \text{ es una recta creciente}\\&\text{el mínimo lo tiene lo más permitido }\\&\text{a la izquierda, en }\\&x=0\\&\\&----------------\\&\\&\text{El costo promedio es}\\&\\&C_p(x) = \frac{\frac{x^2}4+3x+400}x=\frac{x}{4}+3+\frac {400}x\\&\\&\text{derivamos e igualamos a 0}\\&\\&C_p'(x)= \frac 14-\frac {400}{x^2}=0\\&\\&\frac{1}{4}=\frac{400}{x^2}\\&\\&x^2= 1600\\&\\&x=40\\&\\&\text{nos aseguramos que es mínimo}\\&\\&C_p''(x)= \frac{400·2x}{x^4}= \frac{800}{x^3}\\&\\&C''_p(40)= \frac {800}{40^3}\gt 0 \implies mínimo\\&\\&\text{Luego el mínímo del costo promedio se da en }\\&x=40\end{align}$$

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