Análisis combinatorio. Encontrar el número de permutaciones de las 26 letras del alfabeto...

  1. Encontrar el número de permutaciones de las 26 letras del alfabeto de modo que no aparezcan los patrones “hola”, “yo”, “soy” “estudiante”.

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Calculamos el cardinal de la unión de los conjuntos que tienen algún patrónde los excluidos. Por el principio de inclusión exclusión será:

$$\begin{align}&|A\cup B\cup C\cup D| =|A|+|B|+|C|+|D| -\\&|A\cap B|-|A\cap C|-|A\cap D|-|B\cap C|-|B\cap D|-|C\cap D|+\\&|A\cap B \cap C|+|A \cap B \cap D|+|A \cap C \cap D|+|B\cap C\cap D|\\&+|A\cap B \cap C \cap D|=\\&\\&\text{"hola" podrá estar desde la posición 1 hasta la 23}\\&\text{"yo"  podrá estar desde la 1 a la 25}\\&\text{"soy" desde la 1 a la 24}\\&\text{"estudiante" no puede estar, tiene dos es}\\&\\&\text{Pues podemos hacer dos cosas, seguir con esa}\\&\text{expresión si}\text{n operar los sitios donde sale D}\\&\text{ya que son conjuntos vacíos, o crear una expresión}\\&\text{solo para tres conjuntos}\\&\\&|A\cup B\cup C| =|A|+|B|+|C| -\\&|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+\\&|A\cap B \cap C| =\\&\\&\text{la primera línea es fácil}\\&23·P_{22}+25·P_{24}+24·P_{23}\\&\\&\text{vamos con }|A\cap B|\\&\text{¡Eh!, no puede darse ya que habría dos oes}\\&\text{tampoco puede darse ninguno de los otros}\\&\\&\text{Luego los malos son}\\&\\&23!+25!+24!\\&\\&\text {Y los vádidos son}\\&26!-25!-24!-23! =25.852.016.738.884.976.640.000\\&\end{align}$$

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