Dependencia e independencia lineal ecuaciones diferenciales
Demuestre que las funciones ex, cosx, sinx son linealmente independientes
1 Respuesta
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¡Hola Moropeza!
Tomamos una combinación lineal de ellas igualada a 0 y debemos demostrar que los únicos coeficientes que cumplen eso son
a=b=c=0
a·e^x + b·cosx + c·senx = 0
Esto debe cumplirse par x=0 luego
a·e^0 + b·cos0 + c·sen0 = 0
1) a + b = 0
también debe cumplirse para 2pi
a·e^(2pi) + b·cos(2pi) + c·sen(2pi) = 0
2) a·e^(2pi) + b = 0
Si a esta le restamos la primera queda
a·e^(2pi) - a = 0
a[e^(2pi) - 1] = 0
como e^2(pi) - 1 es distinto de 0 entonces
a=0
Y por lo tanto en 1) deducimos
0+b=0
b=0
con lo cual la combinación lineal queda reducida a
c·senx = 0
Y para que eso suceda para todo x debe ser
c=0
Luego hemos llegado a la conclusión
a=b=c=0
Luego las tres funciones son linealmente independientes.
Y eso es todo, saludos.
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