Como resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo grado?

Es que cuando hay un término que no tiene y ni derivadas de y es la función que se pone al otro lado. No quiero decir que no se pueda resolver así, pero son dos tipos de problemas con bastante diferencia.

De momento te resuelvo el b) y el a) mándamelo en otra pregunta, que no es muy complicado pero lleva más trabajo. Pero yo creo que debía llevar esa "y" por no mezclar dos ejercicios bastante distintos.

b)

Calculemos las raíces de la ecuación característica:

k^2 + 2k + 5 = 0

son complejas claro

$$\begin{align}&k= \frac{-2\pm \sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2+4 \sqrt{-1}}{2}=-1\pm 2i\\&\\&\text{Cuando las raíces son complejas }\alpha + \beta i\\&\text{la solución general es}\\&\\&y= e^{\alpha x}(A\,\cos \beta x+B\,sen\, \beta x)\\&\\&y = e^{-x}(A\,\cos 2x + B\,sen \,2x)\\&\\&\text{A y B son constantes arbitrarias, mejor que}\\&C_1\; y\; C_2 \text { que cuesta bastante escribirlas}\\&\\&Como\; y(0)=0\\&e^0(Acos 0+Bsen0)=0\\&1(A+0)=0\\&A=0\\&\\&\text{con lo que de momento queda}\\&\\&y = Be^{-x}sen\, 2x\\&\\&\text{lo derivamos}\\&\\&y'=B(-e^{-x} sen\,2x+2e^{-x}cos2x)\\&\\&\text{Y debe cumplirse }y'(0)=1\\&B(-e^0sen0+2·e^0 \cos(0))=1\\&\\&2B=1\\&\\&B=\frac 12\\&\\&\text{luego la solución es}\\&\\&y=\frac 12 e^{-x}sen \,2x\\&\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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