Los ecologistas están interesados en el sistema depredador-presa
Los ecologistas están interesados en el sistema depredador-presa, en el que el número de depredadores y el número de presas tiende a tener un comportamiento cíclico o periódico. Por ejemplo, suponga que una región está poblada por águilas y roedores. Cuando la población de roedores se incrementa, la población de águilas, que tiene abundante comida, también se incrementa. Cuando la región ya no puede soportar el incremento de roedores, o sea, cuando la comida para roedores escasea, la población de roedores empieza a disminuir. Esto, a corto plazo, causa que la población de águilas disminuya. Una vez que el número de roedores alcance un punto mínimo, permitiendo que el nivel de comida se estabilice, la población de roedores volverá a incrementar (el número de águilas ya es bajo), a lo que le seguirá un incremento en la población de águilas. Este ciclo continuará indefinidamente si es que ninguna otra fuerza exterior aparece. Se ha determinado que la población de roedores en cierto lugar ha variado (aproximadamente) de acuerdo con la función:
r=350+90*sen (pi/2t)
,
En esta ecuación, “r”, es el número de roedores en el tiempo “t” medido en años. Considere que el tiempo t=0 es a partir del 1 de enero del año 2000.
- ¿Cuál es la población de roedores el 1 de enero del 2000?
- ¿Cuál es la población de roedores el 1 de enero del 2002?
- ¿Cuál fue la población máxima de roedores? ¿Y en qué fecha ocurre por primera vez?
- ¿Cuál fue la población mínima de roedores? ¿Y en qué fecha ocurre por primera vez?
- Realice la gráfica de la función (puede ayudarse de algún software como winplot) y explique el comportamiento de esta variación de población.
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Hola Lindemann!
a) r(0)=350+90sen(0)=350
b) r(2)=350+90sen(pi)=350
c) El seno maximo vale 1:
$$\begin{align}&sen(\frac{\pi}{2}t)=1 \Rightarrow \frac{\pi}{2}t=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=1 \Rightarrow 1 enero \ 2001\\&Pmax=350+90=440\end{align}$$d) El seno mínimo es -1
$$\begin{align}&sen(\frac{\pi}{2}t)=-1 \Rightarrow \frac{\pi}{2}t=\frac{3\pi}{2} \Rightarrow t=3\Rightarrow 1 enero \ 2003\\&Pmin=350-90=260\end{align}$$
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1 respuesta más de otro experto
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¡Hola Lindemann!
1) Nos dicen que el 1 de enero de 2000 es el tiempo t=0, luego lo que nos piden es la población cuando t=0
r(0) = 350 + 90sen [(pi/2)·0] = 350 + 90sen0 = 350 + 0 = 350
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2) Ahora han transcurrido 2 años luego es
r(2) = 350 + 90sen [(pi/2)·2] = 350 + 90sen(pi) = 350 + 0 = 350
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3) El máximo de la función seno es 1 y se da cuando el ángulo = pi/2
Luego debe ser
(pi/2)·t = pi/2
t = 1
Luego se da al año y la cantidad es
r(1) = 350 + 90sen(pi/2) = 350 + 90 = 440
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4) La población mínima es cuando el seno valga -1 y eso se da cuando el ángulo sea 3pi/2
(pi/2)t = 3pi/2
t=3
Luego se da al tercer año y la población será
r(3) = 350 + 90sen(3pi/2) = 350 - 90 = 260
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5)
Winplot un poco mal, porque no deja cambiar la proporción entre los ejes y es necesario hacerlo.
El comportamiento es el que se ve, sube y baja entre 260 y 440 de la misma forma que lo haría la función seno de amplitud 90, el periodo es de 4 años.
Y eso es todo, saludos.
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