Necesito que alguien me ayude con este ejercicio de integrales, en calculo de volúmenes.
Calcular el volumen delimitado por las gráficas y= raíz de x, y=2x
2 Respuestas
;)
Te lo hago, suponiendo que rota alrededor del eje X.
Primero calcularemos los puntos de corte entre las dos funciones, igualándolas:
$$\begin{align}&\sqrt x=2x\\&\\&x=4x^2\\&x-4x^2=0\\&x(1-4x)=0\\&x_1=0\\&\\&1-4x=0\\&x_2=\frac{1}{4}\\&\\&V=\pi \int_a^b (f^2-g^2)dx= \pi \int_0^{\frac{1}{4}} ( \sqrt x)^2-(2x)^2 dx=\\&\\&=\pi \int_0^{\frac{1}{4}} (x-4x^2)dx= \pi \Bigg [\frac{x^2}{2}- \frac{4x^3}{3} \Bigg]_0^{\frac{1}{4}}=\\&\\&\pi \Big[ \frac{1}{32}- \frac{4}{3}(\frac{1}{4})^3 \Big]= \pi \Big( \frac{1}{32}-\frac{1}{48} \Big)=\frac{ \pi}{96} \simeq0.0327248 \ u^3\end{align}$$
Muy buenas noches el ejercicio anterior lo resolví de la siguiente manerahttps://drive.google.com/file/d/0BywgkM9h5DIgSDhibzdCaDVlYm8/view?usp=sharing
Pero el profesor me dijo lo siguiente:
Tu actividad es buena ya que realizas el procedimiento adecuado, solo hay un detalle que debo comentarte y es que tu límite superior es incorrecto, recuerda que para obtenerlo primero se encuentra el valor de “x” que en tu caso es X2 = ¼ y este valor debes sustituirlo en alguna de las ecuaciones dada inicialmente, en la que tu manejas como f(x) y g(x).
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¡Hola Mauricio!
El enunciado no está bien:
Entre las gráficas y= raíz de x, y=2x lo único que queda delimitado es un área. Esa sería una de las interpretaciones posibles, la de calcular el área.
Y quedará delimitado un volumen solo si las hacemos girar. Normalmente se hacen girar sobre el eje X o sobre el eje Y, tendrían que decírnoslo y no nos lo dicen, en ese caso se suele tomar que giran alrededor del eje X.
Luego debes concretar si es el área o el volumen y si es el volumen sobre que eje giran.
Saludos.
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De todas formas voy a resolver lo que yo creo más probable que es, determinar el volumen generado por dichas gráficas al girar alrededor del eje X.
Buscamos los limites de integración que son los puntos de corte
$$\begin{align}&y = \sqrt x\\&\\&y=2x\\&\\&\sqrt x = 2x\\&\\&x= 4x^2\\&\\&4x^2-x=0\\&\\&x(4x-1) = 0\\&\\&x=0\\&\\&4x-1= 0\\&\\&x=\frac 14\\&\\&\text{el volumen será el generado por la función externa }\\&y=\sqrt x\\&\text{menos el generado por la interna }\\&y=2x\\&\\&\text{Y la fórmula del volumen de una función es}\\&\\&V=\pi\int_{x_1}^{x_2}[f(x)]^2dx\\&\\&\text{Para el volumen entre externa e interna es}\\&\\&V= \pi\int_{x_1}^{x_2}\left([f(x)]^2-[g(x)]^2\right)dx\\&\\&V=\pi\int_0^{\frac 14}\left((\sqrt x)^2-(2x)^2\right)dx=\\&\\&\pi\int_0^{\frac 14}\left(x-4x^2\right)dx=\\&\\&\pi\left[\frac {x^2}2-\frac {4x^3}3 \right]_0^{\frac 14}=\pi\left(\frac 1{32}-\frac{4}{192} \right)=\\&\\&\pi ·\frac{6-4}{192}=\frac{\pi}{96}\end{align}$$Si no es así, pregúntame. Y si ya está bien, no olvides valorar la respuesta.
Saludos.
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Muy buenas noches el ejercicio anterior lo resolví de la siguiente manera https://drive.google.com/file/d/0BywgkM9h5DIgSDhibzdCaDVlYm8/view?usp=sharing
Pero el profesor me dijo lo siguiente:
Tu actividad es buena ya que realizas el procedimiento adecuado, solo hay un detalle que debo comentarte y es que tu límite superior es incorrecto, recuerda que para obtenerlo primero se encuentra el valor de “x” que en tu caso es X2 = ¼ y este valor debes sustituirlo en alguna de las ecuaciones dada inicialmente, en la que tu manejas como f(x) y g(x).
Los límites de integración o si lo prefieres los extremos de integración son
x=0
x=1/4
el límite superior ese es el correcto si las curvas giran alrededor del eje X.
Otra cosa sería si giraran alrededor del eje Y. Pero en lo que tú me has puesto en ningún sítio dice que giren alrededor del eje Y, por eso yo supuse que giraban alrededor del eje X.
Además si giraran alrededor del eje Y esta bien que los extremos serían
y=0
y= 2·(1/4) = 1/2
pero entonces las funciones a integrar serían las funciones inversas
x= y/2
x= y^2
Este serñia el volumen en ese caso:
$$\begin{align}&V=\pi\int_{y_1}^{y_2}[f(y)]^2dy\\&\\&\text{Y habría que calcular el exterior menos el interior}\\&\\&V =\pi \int_0^{\frac 12}\left(\frac{y^2}{4}-y^4 \right)dy=\pi\left[ \frac {y^3}{12}-\frac{y^5}{5} \right]_0^{\frac 12}=\\&\\&\pi\left(\frac{1}{96}-\frac{1}{160}\right)= \pi·\frac {160-96}{15360}=\frac{64\pi}{15360}=\frac{\pi}{240}\\&\\&\end{align}$$Espero no haberme equivocado con las cuentas, voy con mucha prisa.
Pero eso, que lo principal es saber alrededor de donde giran, si lo hacen alrededor del eje X esta equivocado tu tutor.
Saludos.
Espera, que no había visto tu respuesta. Es que tu has calculado el volumen girando alrededor del eje Y y yo te había dicho que suponía que giraban alrededor del eje X. Claro, lo has hecho mal, no se pueden mezclar las dos cosas. Si gira alrededor del eje X los extremos son las soluciones para x, y si gira alrededor del eje Y son las solucuones para y.
Saludos.
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