Buena tarde a los expertos, Calcular la integral utilizando el Teorema del Valor Medio
Favor de ayudar en el siguiente ejercicio de calculo integral.
Calcular la integral utilizando el Teorema del Valor Medio para la Integral:
2 respuestas
;)
Hola José
Teorema Valor Medio:
$$\begin{align}&\overline{F}=\frac{1}{b-a} \int_a^bf(x)\\&\\&\int_a^b f(x)=f(z)(b-a)\\&\\&\int_3^7(3x^2-2x^3)dx= \Bigg[x^3-x^2 \Bigg]_3^7=343-49-(27-9)=276\\&\\&276=f(z)·4\\&f(z)=\frac{276}{4}=69\\&f(z)=3z^2-2z\\&\Rightarrow\\&69=3z^2-2z\\&3z^2-2z-69=0\\&\\&z=\frac{2 \pm \sqrt {2^2-4(3)(-69)}}{2·3}=\frac{2 \pm \sqrt{832}}{6}=\frac{2 \pm 4 \sqrt {13}}{6}=\\&z_1=\frac{1+4 \sqrt {13}}{3}\simeq 5.14 \ \in [3,7]\\&\\&\int_3^7(3x^2-2x)=4·f\Big(\frac{1+4 \sqrt {13}}{3}\Big)\end{align}$$Saludos
;)
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¡Hola José!
El teorema del valor medio no sirve para calcular integrales, yo pienso que el enunciado debería ser otro. Por ejemplo, calcular el valor medio de la función en el intervalo, o calcular el punto c en el que el valor de la función por la lóngitud del intervalo es la integral definida en el intervalo.
La integral la vas a calcular por medios normales.
El valor medio será
$$\begin{align}&\mu=\frac{1}{b-a} \int_{a}^bf(x)dx\\&\\&\mu=\frac{1}{7-3}\int_3^7 (3x^2-2x)dx=\\&\\&\frac 14\left[x^3-x^2 \right]_3^7=\frac 14(343-49-27+9)=\\&\\&\frac 14·276 = 69\\&\\&\text{Y si quieres buscamos ese c tal que}\\&\\&f(c)=69\\&\\&3c^2-2c=69\\&\\&3c^2 -2c-69=0\\&\\&c=\frac{2\pm \sqrt{4+828}}{6}=\frac{2\pm \sqrt{832}}{6}=\\&\\&\frac{1\pm 4 \sqrt{13}}{3}= -4.474068 \quad y \quad 5.140735\\&\\&\text{Este segundo es el que pertenece a [3, 7] luego}\\&\\&c=\frac{1+4 \sqrt{13}}{3}\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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Veo que tenemos una discrepancia en esta parte
$$\begin{align}&(343−49−27+9)\end{align}$$Lucas m me pone que es
$$\begin{align}&(343−49−(27-9))\end{align}$$pero en los 2 ponen el mismo resultado de 276 y realizando la resta seria signo positivo,
solo es para confirmar si es negativo o positivo.
Es lo mismo, yo me he adelantado un paso porque en esta vida hay veces que se deben subir las escaleras de dos en dos. Cuando lo veo evidente de vez en cuando omito un paso si pienso que el usuario lo va a entender, o incluso para que piense un poco.
Con todos los pasos sería
343 - 49 - (27 -9) = 342 - 49 + 27 + 9 =
Como ves es lo mismo, y por eso tiene que dar el mismo resultado
276