Un rey le dijo a un caballero: "Puedes tomar hoy una moneda de oro, mañana 2 monedas, pasado ...
Un rey le dijo a un caballero: "Puedes tomar hoy una moneda de oro, mañana 2 monedas, pasado mañana 4 monedas y así sucesivamente, cada día puedes tomar el doble de monedas de las que tomaste el día anterior hasta que llenes esta mochila con las monedas que día a día irás depositando" y le entregó dicha mochila. Suponiendo que cada moneda de oro pesa 2 gramos y que la mochila tiene una capacidad máxima de carga de (Z) kg. Responda las siguientes preguntas.
a) ¿Cuántas monedas en total logrará recoger el caballero?
b) ¿Cuántos días aproximadamente se tardará en lograrlo?
Cuando Z=60
2 Respuestas
;)
Hola Panchita!
Es una progresión geométrica de razón 2:
1,2,4,8,16·······
Cada término representa 1 día.
En n días, el total de monedas se calcula con la fórmula de la suma de n términos de una progresión geométrica:
$$\begin{align}&S_n=a_1 \frac{r^n-1}{r-1}=1 \frac{2^n-1}{2-1}=2^n-1 \ \ monedas\\&\\&peso \ total: \ en gramos\\&2(2^n-1)=60000\\&\\&2^n-1=30000\\&2^n=30001\\&\\&log2^n=log30001\\&\\&nlog2=log(30001)\\&\\&n=\frac{log30001}{log2}=14.87\\&\\&\Rightarrow n=14 \ \ días\\&\\&Monedas:\\&2^n-1=2^{14}-1=16383\end{align}$$Saludos
;)
;)
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¡Hola Panchita!
Primero vamos a ver cuántas monedas caben en la mochila, por lo que veo son 60 kg = 60000 g
Como cada moneda pesa 2 g caben
60000/2 = 30000 monedas
El termino general de la sucesión de las monedas que recoge diariamente es:
$$\begin{align}&a_n=a_1·r^{n-1}\\&\\&a_n=1·2^{n-1} = 2^{n-1}\\&\\&\text{La fórmula de la suma es}\\&\\&S_n=a_1·\frac{r^n-1}{r-1}\\&\\&S_n = 1·\frac{2^n-1}{2-1}=2^n-1\\&\\&\text{haremos}\\&\\&2^n-1 \le 209000\\&\\&2^n\le 209901\\&\\&\text{tomamos logaritmos neperianos}\\&\\&ln(2^n)\le ln\,30000\\&\\&n·ln\,2\le ln\,30001\\&\\&n\le \frac{ln \,30001}{ln\,2}=14.87272297\end{align}$$Entonces ahora todo depende de la interpretación que no está muy clara.
Hasta el día 14 ha obtenido
2^(14) - 1 = 16383 monedas
Si no le dejan más ha obtendio 16383 monedas en 14 días
Si le dejan volver el día 15 a recoger hasta completar la mochila obtendrá 30000 en 15 días
Es una progresión geométrica, cada término es el el doble del anterior.
Y es creciente por ser la razón positiva y mayor de 1.
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¡Hola Panchita!
Veo que eres nueva y a lo mejor no lo sabías. Puedes valorar las respuestas tal como lo has hecho o con Excelente, que es un botón que está ahí donde has votado. Y además ahora mismo puedes cambiar la valoración a Excelente. Es que si no lo haces no contestaremos más preguntas tuyas.
Saludos.
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Tuve un fallo entre medias aunque el resultado final está bien. Es porque copie y pegue la respuesta de otro igual con distinto Z que había hecho, pero se me olvido hacer todos los cambios, esta es la caja de fórmulas con los números correctos
$$\begin{align}&a_n=a_1·r^{n-1}\\&\\&a_n=1·2^{n-1} = 2^{n-1}\\&\\&\text{La fórmula de la suma es}\\&\\&S_n=a_1·\frac{r^n-1}{r-1}\\&\\&S_n = 1·\frac{2^n-1}{2-1}=2^n-1\\&\\&\text{haremos}\\&\\&2^n-1 \le 30000\\&\\&2^n\le 30001\\&\\&\text{tomamos logaritmos neperianos}\\&\\&ln(2^n)\le ln\,30001\\&\\&n·ln\,2\le ln\,30001\\&\\&n\le \frac{ln \,30001}{ln\,2}=14.87272297\end{align}$$No olvides valorar la respuesta.
Saludos.
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