Tengo duda sobre el siguiente ejercicio

En primer lugar para calcular los máximos y mínimos de la función

$$\begin{align}&f(x)={ x }^{ 3 }-{ 3x }^{ 2 }-9x+1\end{align}$$

debemos calcular su primera derivada y ver en que puntos se anula. 

Esta derivada es la siguiente:

$$\begin{align}&f'(x)={ 3x }^{ 2 }-{ 6x }-9\end{align}$$

Igualandola a cero obtendremos los puntos en los que la pendiente de la funcion es nula  y por tanto son posibles maximos o minimos. Estos puntos son x=3 y x=-1.

A continuación para saber si resultan máximos o mínimos tendremos que realizar la segunda derivada de la función f(x) y ver si esta función f''(x) es positiva, negativa o nula en esos puntos. El criterio para clasificar como máximo o mínimo es el siguiente:

-Si f''(x)<0 hay un maximo en la funcion.

-Si f''(x)>0 hay un mínimo en la función.

Bien, pues procediendo a realizar f''(x) obtenemos que:

$$\begin{align}&f''(x)=6x-6\end{align}$$

Sustituimos los puntos x=-1 y x=3 y vemos que:

Para x=-1, f''(x)=-12 y por tanto f''(x)<0 y f(x) alcanza un maximo en -1.

Para x=3, f''(x)=12 y por tanto f''(x)>0 y f(x) alcanza un minimo en 3.

Los puntos de inflexión son aquellos tales que la segunda derivada en ellos se anula, es decir f''(x)=0 y a su vez f'''(x) es distinta de 0.

El punto en que la segunda derivada se anula es x=1. Y comprobando si f'''(1) es disinto de cero vemos que lo es, y por tanto x=1 es punto de inflexión, por lo que la función va a cambiar de curvatura en ese punto teniendo dos tramos, entre menos infinito y 1, y el otro ente 1 e infinito.

Para ver si la función es cóncava o convexa entre menos infinito y 1, damos un valor perteneciente a este intervalo y vemos si f''(x) es mayor o menor que cero.

Si f''(x)>0 convexa y esto pasa entre 1 y infinito y f''(x)<0 entre menos infinito y 1 por lo que la funcion sera concava en ese intervalo.

Ahí tendrías el ejercicio resuelto, cave decir que este tipo de ejercicios resultan pesados de solucionar por su longitud, no por su dificultad, y recomiendo que aunque sean pesados se hagan porque personalmente estuve en esa situación de tener que hacerlos en bachillerato y se que es más cómodo preguntarlo para clase, pero el día del examen te va a caer alguna mierda del estilo a esto y como no lleves practica te van a dar las uvas haciéndolo. Si solo era una duda puntual porque amas las matemáticas olvida el comentario anterior.