Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas, poner el método elegido para la resolución de la ED,
Incluir los pasos hasta llegar a la solución y encontrar las raíces por medio de la división sintética.
$$\begin{align}& (d^2 y)/(dx^2 )-dy/dx=4e^(-x)+3e^2x\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Moropeza!
Es una ecuación lineal no homogénaea. Primero calcularemos la solución general de la homogénea mediante la ecuación característica y después le sumeremos una solución particular de la ecuación completa.
$$\begin{align}&y'' -y' = 4e^{-x}+3e^{2x}\\&\\&k^2-k =0\\&k(k-1)=0\\&k_1=0\\&k_2=1\\&\\&\text{La solución general de la homogénea es}\\&\\&y_{gh}=C_1+C_2e^{x}\\&\\&\text{Ahora probamos como particular de la completa una}\\&\text{con la misma estructura que el miembro derecho pero}\\&\text{con coeficientes por determinar}\\&\\&y_{pc}= ae^{-x}+be^{2x}\\&\\&\text{Calculamos las derivadas par ponerlas en la }\\&\text{ecuación diferencial}\\&\\&y'_{pc}=-ae^{-x} +2be^{2x}\\&y''_{pc}=ae^{-x}+4be^{2x}\\&\\&ae^{-x}+4be^{2x} - (-ae^{-x}+2be^{2x})=4e^{-x}+3e^{2x}\\&\\&2ae^{-x}+2be^{2x}=4e^{-x}+3e^{2x}\\&\\&a =2\\&b=\frac 32\\&\\&\text{Luego la solución general de la completa es}\\&\\&y_{gc}=C_1+C_2e^x +2e^{-x}+\frac 32e^{2x}\\&\\&\end{align}$$:
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