Continuando con el anterior ejercicio
Dibujar en el mismo sistema de referencia (o, i, j), la recta (T) y la gráfica (C) (tomamos (1)/(e-2) =1, 4 y admitimos que la gráfica (C) posee dos puntos de inflexión cuya abscisa de uno de ellos pertenece al intervalo ]0,1[ y la abscisa del otro punto es mayor que 3/2)
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Respuesta de Lucas m
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Hola Sia!
$$\begin{align}&f'(x)=\frac{(1-x)e^x}{(e^x-2x)^2}=0\\&\\&1-x=0\\&x=1\\&\\&intervvalos:\\&(-\infty,1) \Rightarrow f'(0)=\frac{1·e^0}{+}=\frac{+}{+}=+ \Rightarrow creciente\\&\\&(1,+\infty) \Rightarrow f'(10)=\frac{(1-10)e^{10}}{+}=\frac{-}{+}=- \Rightarrow decreciente\\&\\&máximo \ relativo \ en \ x=1\\&c)\\&punto \ tangencia (0,0)\\&pendiente:\\&f'(0)=\frac{(1-0)e^0}{(e^0-0)^2}=\frac{1}{1}=1\\&\\&ecuación \ de \ la \ tangente:\\&y-y_0=m(x-x_0)\\&\\&y-0=1(x-0)\\&y=x\\&\end{align}$$;)
;)
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Graficando:
En rojo la tangente en (0,0) y en los puntos de inflexión (te recuerdo que las rectas tangentes en los puntos de inflexión atraviesan la curva)
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El máximo está (1, 1/(e-2)=(1,1.39) aprox (1,1)
Lo interesante de esta gráfica además de que pasa por el origen de coordenadas, son sus dos asíntotas horizontales:
$$\begin{align}&\lim _{x \to + \infty}\frac{x}{e^x-2x}=\frac{+ \infty}{+ \infty}=0\\&\\&el \ infinito \ del \ denominador (exponencial) predomina\\&\\&\lim _{x \to - \infty}\frac{x}{e^x-2x}=\frac{- \infty}{e^{- \infty}-2x}= \lim _{x \to -\infty}\frac{x}{0-2x}=\frac{-1}{2}\\&\\&e^{- \infty}=0\end{align}$$
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