Como se calcula las siguientes derivadas de funciones implícitas, suponiendo que y depende de x

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¡Hola Ana Belén!

Derivas con respecto a x teniendo en cuenta que la derivada de y es y'

$$\begin{align}&sen^2(xy)+xy^2=x^3+1\\&\\&2sen(xy)·\cos(xy)·(y+xy')+y^2+x·2y·y'=3x^2\\&\\&2sen(xy)·\cos(xy)·(y+xy')+y^2+2xyy'=3x^2\\&\\&2y\,sen(xy)·\cos(xy)+2xy'sen(xy)·cosxy)+y^2+2xyy'=3x^2\\&\\&\text{pasamos todo que tiene y' a la izquierda}\\&\text{y lo que no a la derecha}\\&\\&2xy'sen(xy)·\cos(xy)+2xyy'=3x^2-2y\,sen(xy)·\cos(xy)-y^2\\&\\&\text{sacamos y' de factor común}\\&\\&y'\left(2x\,sen(xy)·\cos(xy)+2xy\right)=3x^2-2y\,sen(xy)·\cos(xy)-y^2\\&\\&\text{Y despejas y'}\\&\\&y'=\frac{3x^2-2y\,sen(xy)·\cos(xy)-y^2}{2x\,sen(xy)·\cos(xy)+2xy}\\&\\&\text{puedes simplificar un poco sabiendo que}\\&sen 2a=2sena·cosa\\&\\&y'=\frac{3x^2-y\,sen(2xy)-y^2}{x\,sen(2xy)+2xy}\\&\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.  Si no es así pregúntame.  Y si ya está bien, no olvides valorar las respuestas.

Saludos.

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;)
Se aplican las mismas reglas, pero has de tener que cuando derivas algo de y, has de aplicar la regla de la cadena, ya que y=f(x)

Así:

$$\begin{align}&D(x^3)=3x^2\\&D(y^3)=3y^2·y'\\&\\&D(\sin^2x)=2sinxcosx\\&D(\sin^2y)=2seny·cosy·y'\\&\\&sen^2(xy)+xy^2=x^3+1\\&Derivando \ ambos \ miembros \ de \ la \ igualdad:\\&\\&2sen(xy)·\cos(xy) ·\Big[1·y+x·y' \Big]+1·y^2+x·2yy'=3x^2\\&\\&Sacando \ Factor \ común \ a \ y':\\&\\&y' \Bigg [2xsen(xy)\cos(xy)+2xy \Bigg ]=3x^2-y^2-2y·sen(xy)·\cos(xy)\\&\\&despejando  y'\\&\\&y'= \frac{3x^2-y^2-2y·sen(xy)·\cos(xy)}{2xsen(xy)\cos(xy)+2xy}\end{align}$$

las derivadas de funciones  implícitas se dejan en función de x e y

Saludos

;)

;)