Anónimo
Incremento de utilidad y elasticidad de la demanda
Una empresa productora de artículos para el hogar ha determinado lo siguiente:
Primera parte:
La función de demanda de un producto, en función del precio es:
Donde (p) está dado en pesos.
D(p)=-4p+100
- Determinar el incremento de la cantidad demandada cuando el precio pasa de 10 a 15 pesos.
- Determinar la tasa de cambio promedio dadas las condiciones del inciso anterior.
- Determinar la elasticidad de la demanda cuando el precio es de 15 pesos.
Segunda parte:
La función de ingresos de uno de sus productos está dada por:
Donde q representa la cantidad de productos elaborados y vendidos.
I(q)=-0.5q^2+180q
Se pide:
- Calcular el cambio en los ingresos cuando la cantidad se incrementa de 40 a 50 unidades.
- Determinar la tasa de cambio promedio cuando la cantidad cambia de 50 a 100 unidades.
- Determinar la tasa de cambio instantánea cuando q=50.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Anónimo!
1) El incemento de la demanda sera
$$\begin{align}&\Delta D(p)=D(15)-D(10)= -4·15+100-(-4·10+100)\\&\\&-60 + 100 - (-40+100) = 40-60=-20\\&\\&\\&\text{2) La tasa de cambio promedio es}\\&\\&t=\frac{\Delta D(p)}{\Delta p}= \frac{-20}{15-10}= \frac{-20}{5}=-4\\&\\&\\&\text{3) La elasticidad puntual de la demanda se calcula así}\\&\\&E_p(p)=\frac{dQ(p)}{dp}·\frac{p}{Q(p)}\\&\\&\text{Donde Q es la función de la demanda y p el precio}\\&\\&E_p(15) = -4·\frac{15}{-4·15+100}= \frac{-60}{40}=-1.5\\&\\&\text{Luego es una demanda elástica por estar comprendida en}\\&(-\infty, -1)\\&\\&\end{align}$$·
Segunda parte)
1) El cambio en los ingresos es
I(50) -I(40) = -0.5 · 50^2 + 180 · 50 - (-0.5 · 40^2 + 180 · 40)=
-1250 + 9000 - (-800 + 7200) = 7750 - 6400 = 1350
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2) La tasa de cambio promedio será
$$\begin{align}&\frac{I(100)-I(50)}{100-50}=\\&\\&\frac{-0.5·100^2 +180·100 -(-0.5·50^2+ 180·50)}{ 50}=\\&\\&\frac{-5000+18000-(-1250+9000)}{50}=\\&\\&\frac{13000-7750}{50}=105\\&\\&3) \text{ La tasa instantánea es la derivada}\\&\\&I'(q)=-q+180\\&\\&I'(50) -50+180 = 130\end{align}$$:
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