Realizar la demostración de los siguientes enunciados.
- Si A, B y C son tres conjuntos, entonces:
- A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)
- A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)
- A´∩ (B U C)´ = (A U B U C)’
- Si A y B son conjuntos, entonces:
- (A ∩ B) ∩ (A – B) = ∅
- (A – B) ∪ (A ∩ B) ∪ Ac = U
- (A – B) ∪ (A ∩ B) ∪ Ac = U
- Sean A y B dos conjuntos y B1 y B2 son subconjuntos de B. Demostrar que si 𝐵 = 𝐵1 ∪ 𝐵2, entonces A x B = (A x B1) ∪ (A x B2).
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Ale Carranza!
Son demasiados, siete ejercicios. Haré el primero y el resto los mandas si quieres pero de uno en uno. Además, lo malo de estos ejercicios es tener que usar el editor de ecuaciones para escribir y eso se hace muy pesado.
$$\begin{align}&\text{Se usará bastante}\\&A-B = A\cap B^c\\&(A\cap B)^c=A^c\cup B^c\\&(A\cup B)^c = A^c\cap B^c\\&A\subseteq B\;y\; B\subseteq A\implies A=B\\&\\&\\&\text{Sea }\; x\in A-(B \cup C)\\&x\in A\\&x\in (B\cup C)^c =B^c\cap C^c\\&x\in (A \cap B^c) \cap (A\cap C^c)=(A-B)\cap(A-C)\\&luego \\&1)\quad A-(B\cup C) \subseteq (A-B)\cap(A-C)\\&\\&\\&\\&\text{Sea }\; x\in (A-B)\cap(A-C)\\&x\in (A\cap B^c)\cap (A\cap C^c)\\&x\in A\cap(B^c\cap C^c)\\&x\in A\cap(B\cup C)^c\\&x\in A-(B\cup C)\\&luego\\&2)\quad (A-B)\cap(A-C)\subseteq A-(B\cup C)\\&\\&\text{y como consecuencia de 1) y 2)}\\&A-(B\cup C)=(A-B)\cap(A-C)\\&\\&\end{align}$$Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así, pregúntame. Y si ya está bien, no olvides valorar la respuesta para poder obtener otras en el futuro.
Saludos.
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Estoy probando esta página y realmente es fantástico el aporte que se realiza aquí. Muchas gracias por la respuesta y que tengas un excelente día.
