Última parte ¿Como resolver este ejercicio de matemáticas?

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¡Hola Jesusgpe!

Es cuestión de aplicar hasta la extenuación la fórmula de la distancia

$$\begin{align}&d((x_1,y_1),(x_2,y_2))= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\&\\&\overline{AB}=\sqrt{(0-1)^2+(5-1)^2}= \sqrt{1+16}=\sqrt {17}\\&\\&\overline{BC}=\sqrt{(4-0)^2+(7-5)^2}=\sqrt{16+4}= \sqrt {20}=2 \sqrt 5\\&\\&\overline{CA}=\sqrt{(1-4)^2+(1-7)^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3 \sqrt{5}\\&\\&p=\sqrt {17}+5 \sqrt 5\\&\\&\text{Es un triángulo escaleno}\\&\\&\text {Los punto medios son la semisuma de los puntos}\\&m((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = \left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}  \right)\\&\\&\text{el medio de BC es } D\left( \frac{0+4}{2},\frac{5+7}{2} \right)=D(2,6)\\&\text{La mediana AD mide}\\&\sqrt{(2-1)^2+(6-1)^2}= \sqrt{1+25}= \sqrt {26}\\&\\&\text{El medio de AC es }E\left( \frac{1+4}{2},\frac{1+7}{2} \right)=E\left(\frac 52,4\right)\\&\text{la mediana BE mide}\\&\sqrt{\left(\frac 52-0\right)^2+(4-5)^2}= \sqrt{\frac {25}4+1}= \frac{\sqrt {29}}2\\&\\&\text{El medio de AB es }F\left( \frac{1+0}{2},\frac{1+5}{2} \right)=F\left(\frac 12,3\right)\\&\text{la mediana CF mide}\\&\sqrt{\left(\frac 12-4\right)^2+(3-7)^2}= \sqrt{\frac {49}4+16}= \frac{\sqrt {113}}2\\&\\&\end{align}$$

Y lo del área se hace con la mitad del módulo del producto vectorial de dos lados, lo que pasa es que el editor de fórmulas se vuelve tonto cuando le metes una matriz o determinante.  Hay que ampliar con una tercera coordenada 0 porque el producto vectorila es en R3

AB = (-1,4,0)

AC = (3,6,0)

| i   j   k|

|-1  4  0|= 0i+0j + (-6-12)k = -18k

| 3  6  0|

Luego el módulo es 18 y el área es la mitad de eso

a=9

Y eso es todo, saludos.

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