Matemáticas. Rotación de ecuaciones en plano cartesiano
Resolví este ejercicio y me ayudaría que me dijeran si es correcto, al segundo inciso no le entiendo. Gracias
El primer inciso dice
Encuentra la ecuación cuando los ejes se rotan en un ángulo de 50 grados de
$$\begin{align}&x^2+y^2=a^2\end{align}$$El segundo inciso dice
Encuentra el ángulo de rotación tal que la ecuación transformada no tenga término x' y y'
La solución al primer inciso me salió así
$$\begin{align}&(x' \cos(50°)-y \sin(50°))^2+(x' \sin(50°)+y' \cos(50°))^2=a^2\\&\\&x'^2 \cos^2(50°)-2x'y' \cos(50°) \sin(50°)+y'^2 \sin^2(50°)+x'^2 \sin^2(50°)+2x'y' \sin(50°) \cos(50°)+y'^2 \cos(50°)=a^2\\&\\&x'^2 (\cos^2(50°)+\sin^2(50°))+y'^2 (\sin^2(50°)+\cos^2(50°))=a^2\\&\\&x'^2+y'^2=a^2\\&\end{align}$$No tengo la solución al segundo inciso
1 Respuesta
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¡Hola Fred!
Yo siempre me hago un lío con si lo que rotan son los ejes o la cónica, nunca se cual es la ecuación a usar.
Pero lo que te ha salido es lo más lógico del mundo, una circunferecia centrada al girar los ejes tiene la misma ecuación
Dices que la relación es:
x = x'cosa - y'sena
y = x'sena + y'cosa
déjame que la compruebe. El punto (1,0) si giro 90º se convierte en (0,-1)
1 = 0·0 - (-1)·1 = 1
0 = 0·1 + (-1)·0 =0
Abreviaré
s= sen(50º)
c= cos(50º)
$$\begin{align}&x^2+y^2=a^2\\&\\&(x'c-y's)^2+(x's+y'c)^2=a^2\\&\\&(x'c)^2-2x'y'cs+(y's)^2+(x's)^2+2x'y'cs+(y'c)^2= a^2\\&\\&x^{'2}(c^2+s^2)+y^{'2}(s^2+c^2)=a^2\\&\\&x^{'2}+y^{'2}=a^2\end{align}$$Sí, lo tienes bien.
Y el segundo inciso supongo que la respuesta es que cualquier ángulo sirve. Con cualquier ángulo te quedará la ecuación
x^2 + y^2 = a^2.
Y eso es todo, saludos.
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Entiendo tu respuesta al segundo inciso, pero debo presentar mi respuesta con algún procedimiento, se puede?
Te sirve por ejemplo lo que has hecho tú o yo. En ningún momento has hecho uso que el ángulo fuera específicamente 50º, podrías haber puesto alfa en su lagar, la unica operación que has hecho de sumar el seno al cuadrado y el coseno al cuadrado hubiera dado resultado 1 para cualquier ángulo. Luego la ecuación después del giro es siempre la misma para cualquier ángulo, por eso nunca tiene componentes lineales.
