Cuál será el volumen de una pirámide regular de 8 2/3 dms de altura

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¡Hola Emm1310!

Necesitamos conocer el área de la base para aplicar la fórmula del volumen. La base es un hexágono que se compone de 6 triángulos equilateros. El dato que nos dan de ellos es el apotema dl hexágono que corresponde a la altura de estos triángulos.

Si has estudiado trigonometría sabrás que el apotema sería

apotema = lado · cos60º

lado = apotema / cos60º

Si no has estudiado trigonometría puedes usar el teorema de Pitágoras aplicado al triangulo que resulta al dividir entre dos por la altura.

$$\begin{align}&apotema^2+\left(\frac {lado}{2}\right)^2=lado ^2\\&\\&apotema^2+\frac {lado^2}{4}=lado ^2\\&\\&apotema ^2= \frac 34 lado^2\\&\\&lado=\sqrt{\frac{4apotema^2}{3}}=\frac{2\,apotema}{\sqrt 3}\\&\\&\text{En resumen}\\&\\&lado = \frac {2·(4\;\;1/2)}{\sqrt 3}=\frac{2·\frac{9}{2}}{\sqrt 3}=\frac{9}{\sqrt 3}=3 \sqrt 3\,dm\\&\\&\text{Y el área de la base es}\\&\\&A_b=\frac{P·a}{2}=\frac{18 \sqrt 3·\frac 92}{2}=\frac{81 \sqrt 3}{2}\;dm^2\\&\\&V=\frac 13A_b·h=\frac{1}{3}·\frac{81 \sqrt 3}{2}· \left(8+\frac 23\right)=\\&\\&\frac {81}6 \sqrt 3·\frac{26}{3}=117 \sqrt 3\; dm^3\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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Esa es la respuesta correcta gracias, pero quiero que me explique  

$$\begin{align}&〖apotema〗^2+〖(Lado/2)〗^2=〖Lado〗^2\end{align}$$

Quiero saber de donde sale ese 2 del teorema de pitagoras