¿Como determinar el precio en que la utilidad es máxima y el calculo del valor optimo?
Tercera parte:
Usted ha determinado que el comportamiento de sus utilidades, en función del precio de su producto, está dado por la expresión,𝑈𝑝 =400 (15−𝑝) (𝑝−2), donde la utilidad está dada en cientos de pesos y el precio está limitado por el intervalo 5≤𝑝≤15. Mediante derivación, determina el precio al que la utilidad es máxima, y calcule ese valor óptimo.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Mexyarg!
Derivaremos la fusión de la utilidad y la igualaremos a 0
$$\begin{align}&U'(p)=400[-1(p-2) +(15-p)·1]=0\\&\\&400(-p+2+15-p)=0\\&\\&400(-2p+17)=0\\&\\&-2p+17=0\\&\\&-2p=-17\\&\\&p= \frac{17}2=8.5\\&\\&\text{el cual está en el intervalo }[5,\;15]\text{ que pedían}\\&\\&\text{Comprobamos que es un máximo}\\&\\&U''(p)=400·(-2)=-800\lt0\implies máximo\\&\\&\text{Y la utilida máxima será}\\&\\&U(8.5)=400(15-8.5)(8.5-2)=\\&\\&400·6.5·6.5 = 16900\end{align}$$:
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