Anónimo
1. Utiliza el criterio de la primer derivada para determinar los valores máximos y mínimos:
y=(2x˄2-2x-2)˄2
2. Determina también los puntos de inflexión.
3. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
4. Determina los intervalos de concavidad
1 respuesta
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¡Hola Anónimo!
Es una pena porque yo tenía hecha la de
y=(x^2-x-1)^2
Que no es otra cosa que la que planteas tú dividida por 4
y=(2x^2-2x-2)^2 =[2(x^2-x-1)]^2 = 4(x^2-x-1)^2
Eso significa que los puntos donde están los máximos, mínimos y puntos de inflexión son los mismos y lo que varía es que el valor de la función está multiplicado por 4 en ese punto.
Así el máximo será (0.5, 6.25) = (1/2, 25/4), los mínimos los mismos ya que su coordenada y es 0, y los puntos de inflexión tienen la misma coordenada x y la y es 2.77778.
Los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad serán los mismos.
Y a gráfica será la misma horizontalmente pero multiplicada por 4 en el eje Y.
Yo creo que con el enlace que te di es sencillo que puedas resolver el problema. No obstante, lo vuelvo a reescribir todo si quieres.
Saludos.
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Le agradecería si lo escribiera con esta función, de antemano muchas gracias.
Yo no voy a hacer otra cosa más que ponerla primero como
y=4(x^2-x-1)^2
Para así poder aprovechar lo ya hecho. Yo pienso que a ti no te costaría nada poner los 4 delante y los paréntesis en los sitios que sean necesarios. Puntúa excelente por anticipado para que lo haga.
Saludos.
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Haremos la primera derivada y la igualaremos a 0 para hallar los puntos críticos. Y la segunda igualada a 0 para hallar los puntos de inflexión. Pero antes de eso sacaré factor común dentro de la función para facilitarlas.
$$\begin{align}&y=(2x^2-2x-2)^2\\&\\&y=[2(x^2-x-1)]^2\\&\\&y=4(x^2-x-1)^2\\&\\&y'=8(x^2-x-1)(2x-1)\\&\\&\\&\\&y''= 8\left((2x-1)(2x-1)+16(x^2-x-1) \right)=\\&\\&8(2x-1)^2+16(x^2-x-1)=\\&\\&32x^2-32x +8+16x^2-16x-16 \\&\\&y''=48x^2-48x-8\\&\\&\text{Los puntos críticos son los que }f'(x)=0\\&\\&2x-1=0\implies2x=1\implies\\&x_1=\frac 12\\&\\&x^2-x-1=0\implies x=\frac{1\pm \sqrt{1+4}}{2}\implies\\&x_2=\frac{1-\sqrt 5}{2}\approx -0.618034\\&x_3=\frac{1+\sqrt 5}{2}\approx 1.618034\\&\\&\text {veamos si son máximos o mínimos con }f''(x)\\&\\&f''\left(\frac 12\right)=-20\lt0\implies \text{máximo}\\&f''(-0.618034)=40\gt0\implies \text {mínimo}\\&f''(1.618034)= 40\gt 0\implies \text{mínimo}\\&\\&f(x_2)\; y\; f(x_3)=0 \text{ por ser raíces de }x^2-x-1\\&f\left(\frac 12\right)=\frac{25}{4}\\&\\&\text{Máximo =}\left(\frac 12,\;\frac{25}{4}\right)\\&\text{Mínimos=} \{( -0.618034,0), \quad(1.618034,0)\}\\&\\&\text{Puntos de inflexión cuando }f''(x)=0\\&\\&48x^2-48x-8=0\\&6x^2-6x-1=0\\&\\&x=\frac{6\pm \sqrt{36+24}}{12}=\frac{3\pm \sqrt{15}}{6}\\&\\&x_{i_1}\approx -0.145497\\&x_{i_2}\approx 1.145497\\&\\&f(-0.145497) =f(1.145497)=2.777779709\\&\\&\text{Puntos de Inflexión:}\\&(-0.145497,\;2.777779709)\\&(1.145497,\;2.777779709)\\&\\&\end{align}$$Salgamos del editor de ecuaciones que en él no se pueden escribir reflexiones profundas. Ya hemos calculado los mínimos, máximos y puntos de inflexión.
Ahora los intervalos de crecimiento o decrecimiento se pueden calculan mediante el signo de la derivada primera, esto se puede hacer evaluando puntos entre las raíces de esa derivada, o conociendo cómo se comporta la derivada. Y tambíen se pueden calcular sabiendo que donde hay un mínimo antes es decreciente y luego creciente y donde hay un máximo antes crece y después decrece.
Usaré este último. Como en x= -0.618034 hay mínimo antes decrece y luego crece hasta el maximo en x=0.5 y luego decrece hasta 1.618034 donde hay un mínimo y después crece hasta infinito.
Y para la concavidad se calcula el signo de la derivada segunda, aquí usaré que
f ''(x) = 48x^2 - 48x-8
Es un polinomio de grado 2 con signo positivo en x^2, luego es positiva a la izquierda y derecha de las raíces y negativa entre ellas. Cuando sea positiva diré que la función es cóncava hacia arriba y cuando sea negativa es cóncava hacia abajo. Es inútil intentar entenderse con las palabras cóncava y convexa, cada país, cada libro, cada autor dice una cosa distinta sobre lo que es una cosa y otra.
Cóncava hacia arriba es en forma de U y cóncava hacia abajo en forma de iglú.
Pues con todo este rollo queda que los intervalos son:
Y finalmente nada mejor que una gráfica:
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