Repaso, Utilizando la PRIMERA parte del Teorema fundamental del cálculo

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¡Hola Jose Otero!

La primera parte del teorma fundamental del cálculo dice que

$$\begin{align}&\text{Dada una función f es integrable en [a,b]  definimos}\\&\\&F(x)=\int_a^xf(t)dt\\&\\&\text{Si f es continua en }c\in(a,b)\text{ entonces F es derivable en C y}\\&F'(c)=f(c)\\&\\&\text{Nosotros tenemos }f(x)=9x^4+3 \text{ integrable en [3,b]}\\&\text{para cualquier } b \in\mathbb R. \text{Y hemos definido}\\&F(x)=\int_3^xf(t)dt=\int_3^x (9t^4+3)dt\\&\text{y f es continua en cualquier punto de }[3,b]\\&\text{Se cumplen las premisas del teorema, luego}\\&\forall c\in [3,b] \implies F'(c)=f(c)\\&\\&\text{Luego f es la derivada de F en }[3,b]\\&\\&\frac{d}{dx}F(x) = f(x)\\&\\&\frac{d}{dx}\left[\int_3^x(9t^4+3)dt \right] = 9x^4+3\quad \forall x\in[3,b]\\&\\&\text{cumplía las premisas para cualquier b, luego}\\&\\&\frac{d}{dx}\left[\int_3^x(9t^4+3)dt \right] = 9x^4+3  \quad \forall x\in \mathbb R\end{align}$$

Nótese que el teorema sirve lo mismo para b<3 de ahi que la derivada sirva para valores de x<3  y por tanto para todo R.

Y la segunda parte dice que dada una función f(x) continua en [a,b] y dada F(x) cualquiera de las primitivas de f , es decir que F'(x)=f(x) entonces la integral entre a y b de f(x) es F(b)-F(a)

$$\begin{align}&\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)\\&\\&\text{Luego buscamos una primitiva}\\&\\&F(x) =\int(6x-8)dx=3x^2+8x+C\\&\\&\text{Como sirve cualquier primitiva tomaré }C=0\\&\\&F(x)=3x^2+8x\\&\\&\text{Entonces}\\&\\&\int_4^9(6x+8)=F(9)-F(4)=\\&\\&3·9^2+8·9-(3·4^2+8·4)=\\&\\&243+72-(48+32)=\\&\\&315-80=235\end{align}$$

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