Ejercicios de vectores - álgebra lineal

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;) hola Rocío!!

a) Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar da 0

b) Dos vectores son paralelos si sus componentes son proporcionales u=kv

$$\begin{align}&a)\\&\vec{u}·\vec{v}=(3,4)·(a,-2)=3a-8\\&\\&3a-8=0\\&\\&a=\frac{8}{3}\\&\\&b)\\&\vec{u}=k \vec{v}\\&\\&(3,4)=k(a,-2)\\&\\&3=ka\\&4=-2k \Rightarrow k=\frac{4}{-2}=-2\\&\\&3=-2a \Rightarrow a=- \frac{3}{2}\\&\\&c)\\&\cos \alpha= \frac{\vec{u}·\vec{v}}{|\vec{u}|·|\vec{v}|}\\&\\&cos120º=\frac{-1}{2}=\frac{3a-8}{ \sqrt {3^2+4^2}·\sqrt{a^2+4}}\\&\\&\sqrt {3^2+4^2}·\sqrt{a^2+4}=2(8-3a)\\&\\&5·\sqrt{a^2+4}=16-6a\\&\\&(5·\sqrt{a^2+4})^2=(16-6a)^2\\&\\&25a^2+100=256-192a+36a^2\\&\\&0=11a^2-192a+156\\&\\&a=\frac{192 \pm \sqrt{192^2-44(156)}}{22}= \frac{192 \pm \sqrt {30000}}{22}=\\&\\&\frac{192 \pm 100 \sqrt 3}{22}\\&\\&\\&\end{align}$$

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¡Hola Rocío!

u=3i+4j y v=ai-2j

a)

Para que sean ortogonales su producto escalar debe ser 0

u·v= 3a-8 = 0

3a=8

a=8/3

b)

Para que sean paralelos deben ser proporcionales

Cu=v

3Ci+4Cj = ai - 2j

3C=a

4C=-2  ==> C = -1/2

luego

a=3C = -3/2

c)

El coseno del ángulo entre dos vectores es:

$$\begin{align}&\cos(u,v)=\frac{u·v}{||u||\;||v||}\\&\\&2\pi/3 = 360º/3=120º\\&\\&\cos(120º)=-\frac 12\\&\\&-\frac 12=\frac {3a-8}{\sqrt{3^2+4^2} \sqrt{a^2+4}}\\&\\&-\sqrt{3^2+4^2} \sqrt{a^2+4}=6a-16\\&\\&- 5 \sqrt{a^2+4}=6a-16\\&\\&\text{elevamos al cuadrado}\\&\\&25(a^2+4) = 36a^2 - 192a +256\\&\\&25a^2+100=36a^2 - 192a +256\\&\\&11a^2-192a + 156= 0\\&\\&a=\frac{192\pm \sqrt{36864-6864}}{22}=\\&\\&\frac{192\pm 100 \sqrt 3}{22}= \frac{96\pm 50 \sqrt{3}}{11}\\&\\&\text{Pero solo sirve una de las dos respuestas, la}\\&\text{otra surgió al elevar al cuadardo la ecuación}\\&\text{Probamos las respuestas en la ecuación anterior}\\&- 5 \sqrt{a^2+4}=6a-16\\&\\&\text{Para facilitar tomamos valores aproximados}\\&a_1=16.60 \\&a_2=0.85\\&\\&\text{Si tomamos }a_1\\&6a-16 = 83.6\\&\text{No puede ser porque debe ser negativo}\\&\\&\text{Luego la solución UNICA es}\\&\\&a=\frac{96- 50 \sqrt{3}}{11}\\&\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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