No entiendo limites a resolver calculo diferencial

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¡Hola Cesar!

Algún día supongo que te enseñaran y podrás usar las reglas que se usan para los limites de funciones racionales en el infinito

i) Si grado del numerador > grado del denominador el límite es infinito. Y el signo concreto es el signo del cociente de los términos de mayor grado del numerador y denominador.

Ii) Si grado del denominador >grado numerador el límite es 0

Iii) Si los grados son iguales el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado.

En este caso, grado del numerador 4, grado del denominador 3, luego el límite es infinito. Sobre el signo (infinito)^4 tiene signo +, 3(infinito)^3 también tiene signo +, luego el cociente es positivo y el límite es +infinito.

Mientras no puedas usar eso lo que debes hacer es dividir todos los términos entre la x elevada al grado mayor que haya en toda la expresión. Con ello solo los terminos maás fuertes se quedarán en un número y los menos fuertes quedaran divididos por x elevada a algo y su límite será cero.

$$\begin{align}&\lim_{x\to \infty} \frac{x^4+3x}{3x^3-4x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac 3{x^3}}{\frac 3x-\frac{4}{x^2}}=\frac{1+0}{0-0}=\frac 10=\infty\\&\\&\text{Y el signo como decíamos antes}\\&\frac{sgn(\infty^4)}{sgn(3\infty^3)}= \frac +0=+\\&Luego\; L = +\infty\\&\\&\text{Tambíen puedes dividir por la potencia menor entre}\\& \text{grado del numerado y denominador, entonces por }x^3\\&\\&\lim_{x\to \infty} \frac{x^4+3x}{3x^3-4x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{x+\frac{3}{x^2}}{3-\frac 4x}=\frac{+\infty}3=+\infty\\&\\&\text{Esta segunda forma deja más claro el tema del signo.}\end{align}$$

Y esto es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.

Saludos.

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Una forma "fácil" en el caso de cociente de polinomios, consiste en sacar como factor común la "x" con el coeficiente más grande de cada expresión, luego simplificas lo que puedas y te quedarán varios términos que tienden a cero, pero "algo" sobrevive.

Como regla general vale que dependiendo los grados del numerador y denominador pasa

Gr(Num) > gr(Dem) entonces tenderá a infinito

Gr(Num) < gr(Dem) entonces tenderá a cero

Gr(Num) = gr(Dem) entonces tenderá a un número dado por los coeficientes que acompañan los factores de mayor grado.

Para este caso puntual tenemos que:

$$\begin{align}&\lim_{x \to \infty}\frac{x^4+3x}{3x^3-4x^2}=\\&\text{sacamos factor comun}\\&\lim_{x \to \infty}\frac{x^4(1+\frac{3}{x^2})}{x^3(3-\frac{4}{x})}=\\&\text{simplificamos "x"}\\&\lim_{x \to \infty}\frac{x(1+\frac{3}{x^2})}{(3-\frac{4}{x})}=\\&\text{Fijate que lo que está entre paréntesis, tiende a } \frac{1}{3}\\&\text{pero "sobrevivió" la x en el numerador que tiende a infinito, así que}\\&\lim_{x \to \infty}\frac{x(1+\frac{3}{x^2})}{(3-\frac{4}{x})}  \to \infty\\&\end{align}$$

y vemos que está de acuerdo con lo que puse antes de los grados de los polinomios en numerador y denominador.