Un triángulo rectángulo tienen un area de 24cm y su área es de 24 cm^2 ¿Cuánto mide, la altura, base y la hipotenusa?
A partir de las formalas, despejar de forma que se pueda saber las tres dimensiones tomando en cuenta que la hipotenusa es el lado mayor
2 respuestas
Como estas:
Se supone que el perímetro es 24 cm
Su Área 24 cm^2
Haremos el gráfico:
Por dato (Perímetro):
a + b + c = 24 ................. (I)
Por dato (Área):
Luego: ab = 48 ................. (II)
Por dato (Teorema de Pitágoras):
................. (III)
Del dato I:
a + b = 24 - c
Elevamos al cuadrado:
Desarrollamos:
Utilizamos el dato III y reemplazamos:
Cancelamos, utilizamos el dato II y reemplazamos:
Luego:
48c = 576 - 96
48 c = 480
c = 10 cm.
Reemplazmos en la ecuación II y III:
a + b + c = 24
a + b + 10 = 24
a + b = 14 ...................... IV
ab = 48 ...................... II
De (IV) y (II):
a = 8 cm
b = 6 cm
Eso es todo, espero que puedas entender. No te olvides de puntuar la respuesta.
Perdón, el perímetro es de 24 centímetros y el área de 24 centímetros cuadrados. Son todos los datos que tengo. ¿Está mal redactado el problema?
Ahora sí.
Al ser un triángulo rectángulo los dos catetos forman 90º, de forma que podemos poner uno de base y otro de altura, los llamaremos a y b. El área es
A = ab/2 = 24
luego
ab=48
Y el perímetro son estos dos lados más la hipotenusa
$$\begin{align}&P=a+b+h\\&\\&\text{Por el teorema de Pitagoras la hipotenusa es}\\&\\&h = \sqrt{a^2+b^2}\\&\\&\text{luego}\\&\\&P= a+b+\sqrt{a^2+b^2}=24\\&\\&\text{Y ya tenemos 2 ecuaciones para 2 incógnitas}\\&\\&ab=48\\&a+b+\sqrt{a^2+b^2}=24\\&\\&\text{si lo queremos hacer por sustitución normal}\\&\text{llegaremos a una ecuación de grado 4 medio imposible}\\&\\&\text{Vamos a ver si podemos sustituir ab en bloque}\\&\\&a+b = 24 - \sqrt{a^2+b^2}{}\\&\\&\text{elevamos al cuadrado}\\&\\&a^2+b^2+2ab = 24^2-48 \sqrt{a^2+b^2}+a^2+b^2\\&\\&2ab=576-48 \sqrt{a^2+b^2}\\&\\&\text{Como ab= 48 entonces 2ab=96}\\&\\&96= 576 - 48 \sqrt{a^2+b^2}\\&\\&48 \sqrt{a^2+b^2}=480\\&\\&\sqrt{a^2+b^2}=10\\&\\&a^2+b^2=100\\&\\&\text{Y ahora sustituimos, como ab=48}\implies a=\frac{48}{b} \\&\\&\frac {48^2}{b^2}+b^2=100\\&\\&\text{Multiplicamos por }b^2\\&\\&48^2+b^4=100b^2\\&\\&b^4 - 100b^2+2304=0\\&\\&\text{es una bicuadrada}\\&\\&b^2=\frac{100\pm \sqrt{10000-9216}}{2}=\\&\\&\frac{100\pm \sqrt{784}}{2}=\frac{100\pm 28}{2}= 64\;y\;36\\&\\&Luego \\&\\&b_1=\sqrt{64}=8 \implies a_1=\frac{48}{8}=6\\&b_2=\sqrt{36}=6\implies a_2=\frac{48}{6}=8\\&\\&\text{Esto se reduce a una sola respuesta}\\&\text{Un cateto mide 6cm y el otro 8cm}\\&\text{Y la hipotenusa es }\\&h=\sqrt{6^2+8^2}=10cm\end{align}$$Y eso es, espero que sirva.
Saludos.
;:)
;)
¡Gracias!
Sí me sirve de mucho
Saludos 😊
Veo que eres nuevo Dani. Estas respuestas son complicadas y llevan mucho trabajo, debes votarlas con excelente porque por mi parte no contestaré más preguntas tuyas si no subes la nota de esta y creo que el otro experto tampoco se ha quedado satisfecho con la puntuación, lo hecho magistralmente, mejor que yo. Subenos la nota para que sigamos colaborando contigo.
Saludos.
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Gracias.