Tengo dudas sobre demostraciones algebraicas
0.sea a+b=2, donde a,b son R, demostrar a^4 + b^4 >=2
1. Si a>0, b>0, demostrar (ab)^1/2 >= (2ab)/(a+b)
2. Si a>0, b>0, demostrar (a^3 +b^3)/2>=((a+b)/2)^3
3.si a, b son R, tal que a+b=1, demostrar a^4 + b^4 >=1/8
4.si -a>0 y (a-b)^2>(a+b)^2, demostrar que b>0
5. Si a>0, b>0, demostrar a^3+b^3>=(a)^2b+a(b)^2
6.Si c>0 y a<b, demostrar a<(a+bc)/(1+c)<b
1 Respuesta
;)
Hola Gino!
Te hago el 1. Se basa en la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica:
$$\begin{align}&\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\\&dem \\&(a-b)^2 \geq0\\&a^2-2ab+b^2 \geq0\\&\\&sumando \ 4ab\\&\\&a^2+2ab+b^2 \geq 4ab\\&(a+b)^2 \geq4ab\\&\\&raiz:\\&(a+b) \geq 2 \sqrt{ab} \Rightarrow \frac{a+b}{2} \geq \sqrt {ab} \ (c.q.d.)\\&\\&volviendo \ a \ tu \ ejercicio:\\&\sqrt {ab} \geq \frac{2ab}{a+b} \Rightarrow \frac{a +b}{2} \geq \frac{ab}{\sqrt{ab}} \Rightarrow \frac{a+b}{2} \geq \sqrt {ab}\end{align}$$$$\begin{align}&\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\\&dem \\&(a-b)^2 \geq0\\&a^2-2ab+b^2 \geq0\\&\\&sumando \ 4ab\\&\\&a^2+2ab+b^2 \geq 4ab\\&(a+b)^2 \geq4ab\\&\\&raiz:\\&(a+b) \geq 2 \sqrt{ab} \Rightarrow \frac{a+b}{2} \geq \sqrt {ab} \ (c.q.d.)\\&\\&volviendo \ a \ tu \ ejercicio:\\&\sqrt {ab} \geq \frac{2ab}{a+b} \Rightarrow \frac{a +b}{2} \geq \frac{ab}{\sqrt{ab}} \Rightarrow \frac{a+b}{2} \geq \sqrt {ab}\end{align}$$
;)
I el 5)
Se hace utilizando la misma desigualdad anterior de las medias
$$\begin{align}&\\&\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a+b}\\&hago \ las \ medias \ con\ a^3 \ i \ ab^2\\&y \ también \ para \ b^3, \ \ i \ ba^2:\\&\\&\frac{a^3+ab^2}{2}\geq \sqrt{a^3·ab^2} \Rightarrow a^3+ab^2 \geq 2 \sqrt[3]{a^4b^2}=2a^2b\\&\\&\frac{b^3+ba^2}{2} \geq \sqrt{b^3·ba^2} \Rightarrow b^3+ba^2 \geq2 \sqrt{b^4a^2}=2b^2a\\&sumando \ las \ dos \ últimas \ desigualdades:\\& (a^3+b^3)+(ab^2+ba^2) \geq2(a^2b+ab^2)\\&trasponiendo\\&\\&(a^3+b^3) \geq(a^2b+ab^2)\\&\\&c.q.d.\end{align}$$saludos
;)
;)
;)
Y ahora el 3)
Utilizaré estas dos desigualdades:
(
$$\begin{align}&i)\\& a^2+b^2=(a-b)^2+2ab \Rightarrow a^2+b^2 \geq 2ab\\&ii)\\&(a+b)^2=(a-b)^2+4ab \Rightarrow (a+b)^2 \geq4ab\\&\\&como \ a+b=1 \Rightarrow aplicando(**):\\&1^2\geq4ab\\&\\&ab \leq \frac{1}{4}\\&\\&Ahora \ aplico (*) con \ \ a^2 \ \ y \ \ b^2:\\&(a^2)^2+(b^2)^2 \geq2(a^2)(b^2) \Rightarrow a^4+b^4 \geq2(ab)^2\\&\\&y \ como \ se \ cumple \ que \ 2(ab)^2 \leq2(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{8}\\&\\&\Longrightarrow a^4+b^4 \geq \frac{1}{8}\\&c.q.d.\\&\\&\\&\end{align}$$c.q.d. (como queríamos demostrar)
Saludos
;)
;)
;)
Bueno ahora te haré el 0)
Que se hace exactamente igual que el anterior:
$$\begin{align}&De (**)\\&a+b=2 \\&\\&(a+b)^2\geq4ab \Rightarrow 2^2 \geq4ab \Rightarrow ab \leq1\\&\\&De(*)\\&a^2+b^2 \geq2ab\\&(a^2)^2+(b^2)^2 \geq2(a^2)(b^2)\\&\\&a^4+b^4 \geq2 (ab)^2\\&\\&y \ como \ \ \ \ ab \leq1 \\&\Longrightarrow\\&a^4+b^4\geq2(1)^2\\&\\&a^4+b^2\geq2\\&\\&c.q.d.\end{align}$$saludos
;)
;)
;)
(*)=i)
(**)=ii)
;)
¡Gracias!
;)
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