Ejercicios de integración por fracciones parciales casos especiales
Me pueden ayudar con estos ejercicios no se muy bien como realizarlos
1) :
(3x-1)
----------- Dx
x^2+x+1
2:
Dx
-----------------
3x^2-2x+4
1 Respuesta
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¡Hola Diego!
De esta clase de ejercicios con uno por pregunta es más de lo que se puede pedir a un ser humano, mas siendo de raíces complejas, haré el primero.
Como te decía, el denominador tiene raíces complejas porque el discriminante
b^2-4ac = 1-4 = -3 es negativo
Estas fracciones parciales tienen un numerador Mx+N, como esta lo tiene significa que ya es la fracción parcial, es decir, tienes que integrar lo que hay. Y estas integrales se descomponen en la suma de un logritmo y un arcotangente. El logaritmo debe llevarse la totalidad del término de x del numerador, luego tienes que hacer los arreglos pertinentes para que así sea.
$$\begin{align}&\int \frac{3x-1}{x^2+x+1}dx=\\&\\&\text{como la derivada del numerador es }2x+1\\&\text{el numerador debería dividirse por 3 y multiplicarse por 2}\\&\text{Para ello sacamos factor comun 3 y luego}\\&\text{multiplicamos y dividimos por 2}\\&\\&3\int \frac{x-\frac 13}{x^2+x+1}dx=\frac 32\int \frac{2x-\frac 23}{x^2+x+1}dx=\\&\\&\text{Ahora hay que sumar y restar el 1 que necesitamos}\\&\text{para tener la derivada del denominador}\\&\\&\frac 32\int \frac{(2x+1) -1-\frac 23}{x^2+x+1}dx=\\&\\&\frac 32\int \frac{2x+1}{x^2+x+1}dx+\frac 32\int \frac{-\frac 53 dx}{x^2+x+1}=\\&\\&\text{la primera es un logaritmo neperiano, nos}\\&\text{ahorramos el módulo porque es siempre positivo}\\&\\&\frac 32ln(x^2+x+1)-\frac 52 \int \frac{dx}{x^2+x+1}=\\&\\&\text{Me dedicaré solo a la integral que queda ahora.}\\&\text{Completo cuadrados}\\&\\&\int \frac{dx}{\left(x+\frac 12\right)^2-\frac 14+1}=\int \frac{dx}{\left(x+\frac 12\right)^2+\frac 34}=\\&\\&\int \frac{dx}{\frac{(2x+1)^2}{4}+\frac 34}=4\int \frac{dx}{(2x+1)^2+3}=\\&\\&\frac 43\int \frac{dx}{\frac{(2x+1)^2}{3}+1}= \frac 43\int \frac{dx}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt 3} \right)^2+1}=\\&\\&\text{Para ser la derivada del arcotangente de una función le}\\&\text{falta la derivada la derivada de la función en el numerador}\\&\\&= \frac 43·\frac{\sqrt 3}{2}\int \frac{\frac{2}{\sqrt 3}dx}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt 3} \right)^2+1}=\\&\\&\frac{2 \sqrt 3}{3}arctg \left(\frac{2x+1}{\sqrt 3} \right)\\&\\&\text{Y retomando todo lo que dejamos. la integral es}\\&\\&\frac 32ln(x^2+x+1)-\frac 52·\frac{2 \sqrt 3}{3}arctg \left(\frac{2x+1}{\sqrt 3} \right)+C=\\&\\&\frac 32ln(x^2+x+1)-\frac{5 \sqrt 3}{3}arctg \left(\frac{2x+1}{\sqrt 3} \right)+C\end{align}$$Si lo haces con algún programa a lo mejor ves 5/raíz(3), pero ya sabes que a algunos profesores no les gustan los denominadores irracionales.
Y eso es todo, saludos.
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Diego, veo que eres nuevo. Cuando se te resuelve un ejercicio como ese, o cualquiera bien resuelto, debes votar excelente para que el experto te quiera volver a responder. Y en este caso más que nunca que llevó mucho trabajo. Puedes subir la puntuación aqui abajo si quieres tener más contestaciones mías.
Saludos.
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