Dudas sobre homomorfismo en álgebra abstracta...
Sea phi un homomorfismo de G a G'. Demuestre o de un contraejemplo de las siguientes afirmaciones:
a) Si G tiene sólo 8 elementos, ¿la imagen de phi puede tener 6 elementos?.
b) Si G tiene 10 elementos, ¿la imagen puede tener 12 elementos?.
c) ¿Existe algún homomorfismo de un grupo de 12 elementos a un grupo de 24 elementos?
1 Respuesta
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¡Hola Zankass!
a) NO puede ser. Hay un teorema que dice que la imagen de un homomorfismo de grupos es un grupo isomorfo al grupo origen cociente por el nucleo del homomorfismo. POr lo tanto el orden de la imagen es un divisor del orden del grupo. Como 6 no es divisor de 8 no puede ser la imagen por un homomorfismo.
Esta es la imagen donde sale el teorema, no pongo el enlace que es "Homomorfismo de Grupos" en la Wikipedia porque entonces sale todo el articulo y no encuentras lo que hace falta.
b)
Este es más descarado que no puede ser. La imagen podrá tener como mucho 10 elementos, imposible ue tenga 12.
c)
Si claro que existe, la imagen puede tener 12, 6, 4, 3, 2 ó 1 elemento para cumplir el teorema anterior, y todos ellos son divisores de 24, luego pueden ser subgupos el grupo de 24.
Considera el grupo cíclico de 12 elementos y el de 24
G={a^n | n=0, 1, ..., 11}
G'={b^n | n=0, 1, ..., 23}
cumpliendo que a^n y b^n solo son el elemento neutro para n=0
phi(a^n) = b^(2n)
es un homomorfismo cuya imagen son 12 elementos
phi(a^n) = b^(4n)
Es un fomomorfidmo cuya imagen son 6 elementos.
Etc.
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