Como se resuelve los siguientes limites de funciones trigonométricas

Todos se basan en el mismo límite que se da por sabido. Y se tiene que dar por sabido puesto que interviene en la demostración de la derivada del seno, sin él no se hubiera podido avanzar en el cálculo diferencial.

$$\begin{align}&\lim_{x\to 0} \frac{sen\,x}{x}=1\\&\\&\text{y quien dice eso dice}\\&\\&\lim_{u(x)\to 0} \frac{sen\,u(x)}{u(x)}=1\\&\\&\text{y quien dice eso dice}\\&\\&Si\;\; \lim_{x\to a} u(x)=0\implies\lim_{x\to a} \frac{sen\; u(x)}{u(x)}=1\\&\\&\text{Lo que haremos será multiplicar numerador y}\\&\text{denominador por lo mismo, de modo que en el}\\&\text{denominador tengamos lo de dentro del seno.}\\&\text{Y los factores que sobren los mandamos fuera}\\&\\&\lim_{\theta\to 0} \frac{sen\theta}{2\theta}=\\&\\&\text{en este no hay que multiplicar por nada,}\\&\text{simplemente sacar fuera el 2 del denominador}\\&\\&=\frac 12 \lim_{\theta\to 0} \frac{sen\theta}{\theta}= \frac 12·1 = \frac 12\\&\\&--------------------\\&\\&\lim_{\theta\to 0} \frac{sen\,3\theta}{5\theta}=\\&\\&\text{necesitamos un 3 en el denominador}\\&\\&=\lim_{\theta\to 0} \frac{3·sen\,3\theta}{3·5\theta}=\\&\\&\text{y sobran un 3 arriba y el 5 abajo}\\&\\&=\frac 35 ·\lim_{\theta\to 0} \frac{sen\,3\theta}{3\theta}=\frac 35·1=\frac 35\\&\\&---------------\\&\lim_{\theta\to 0} \frac{sen\,4\theta}{\theta}=\\&\\&\text{Y este necesita un 4 en el denominador.}\\&\\&=\lim_{\theta\to 0} \frac{4·sen\,4\theta}{4\theta}=\\&\\&\text{sobra el 4 del numerador}\\&\\&=4·\lim_{\theta\to 0} \frac{sen\,4\theta}{4\theta}=4·1=4\\&\end{align}$$

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