Para n fijo, demuestre que sum(x^k, k = 0 .. N) = 1/(1-x)+o(x^n) cuando x → 0.
Donde "o(x^n)" es la notacion o chica de Landau.
Para n fijo, demuestre que sum(x^k, k = 0 .. N) = 1/(1-x)+o(x^n) cuando x → 0.
-Acá he logrado llegar a la segunda igualdad demostrando como serie geometrica. El problema ya una vez que llegue a la igualdad de la izquierda, necesitaría terminar de entender la notacion de landau, en este caso a la o chica, demostrando que f(x)=o(x^n), es decir, demostrar por que x^n es o chica en esa función. Entiendo que f(x)=o(g(x)) si lim x->a f(x)/g(x) = 0. Es decir, describe una tasa de crecimiento, la funcion g(x) crece mucho más rapido que f(x).
1 respuesta
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¡Hola Patricio!
Sabes que la suma de los n términos primeros de una prograsión geométrica es
$$\begin{align}&Sn=a_1\left(\frac{1-r^n}{1-r}\right)\\&\\&\text{Donde r es la razón de la progresión}\\&\\&\text{Si tu tienes}\\&\\&\sum_{k=0}^N x^k\\&\\&\text{la razón será x y hay N+1 términos con }a_1=x^0=1\\&\\&\sum_{k=0}^N x^k =\frac{1-x^{N+1}}{1-x}\\&\\&\text{Y te piden demostrar que cuando }x\to0\\&\\&\frac{1-x^{N+1}}{1-x}=\frac 1{1-x}+ o(x^N)\\&\\&\frac{1-x^{N+1}}{1-x}-\frac 1{1-x}=o(x^N)\\&\\&-\frac{x^{N+1}}{1-x}=o(x^{N})\\&\\&\frac{x^{N+1}}{x-1}=o(x^{N})\quad \text {cuando }x\to 0\\&\\&\text{para que sea verdad eso debe suceder}\\&\\&L=\lim_{x\to 0} \frac{\frac{x^{N+1}}{x-1}}{x^N}=0\\&\\&L=\lim_{x\to 0} \frac{x^{N+1}}{x^{N+1}-x^N}=\lim_{x\to 0} \frac{x}{x-1}=\frac{0}{-1}=0\end{align}$$Luego es verdad.
Y eso es todo, saludos.
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Dichoso corrector, el 99% de las veces pone prograsión en vez de progresión.
